叶卢庆的博客

2009年北京高考理数选择题第8题简解

2009年北京高考理数选择题第8题如下,网上所有的解法都做繁了.它考察的其实是连续函数的介值性质.题目如下:

题目点$P$在直线$l:y=x-1$上,若存在过$P$的直线交抛物线$y=x^2$于$A,B$两点,且$|PA|=|AB|$,则称点$P$为“$\mathcal{A}$点”,那么下列结论中正确的是

A.直线$l$上的所有点都是“$\mathcal{A}$点”
B.直线$l$上仅有有限个点是“$\mathcal{A}$点”
C.直线$l$上的所有点都不是“$\mathcal{A}$点”
D.直线$l$上有无穷多个点(点不是所有的点)是“$\mathcal{A}$点”

图1

:对于直线$l$上的任意一点$P$来说,设直线的倾斜角为$\alpha$,直线与抛物线相切时的倾斜角为$\alpha_{0}$.则$|AB|-|PA|$是关于$\alpha$的连续函数,设$f(\alpha)=|AB|-|PA|$.则易得
$$
f(\alpha_0) < 0,\lim_{\alpha\to\frac{\pi}{2}}f(\alpha)=+\infty,
$$
由连续函数的介值定理,必存在$\beta\in (\alpha_{0},\frac{\pi}{2})$或$\beta\in (\frac{\pi}{2},\alpha_0)$,使得$f(\beta)=0$,此时即$|AB|=|PA|$.因此直线$l$上所有点都是“$\mathcal{A}$点”.