叶卢庆的博客

2016届宁波高三十校联考填空题最后一题

下面是2016届宁波高三“十校”联考理科数学试题卷填空题最后一题:

题目:如图1,正四面体$ABCD$的棱$CD$在平面$\alpha$上,$E$为棱$BC$的中点.当正四面体$ABCD$绕$CD$旋转时,直线$AE$与平面$\alpha$所成最大角的正弦值为?

图1
:不妨设正四面体的棱长为$1$.由对称性,不妨设正四面体的顶点$B$始终在平面$\alpha$上方或位于平面$\alpha$.如图2所示,过点$B,A,E$作平面$\alpha$的垂线,垂足分别为$B’,A’,E’$.线段$AE$在平面$\alpha$上的投影就是线段$A’E’$.我们现在求出$A’E’$的最小值.
图2
如图2,取$CD$的中点$F$.设$\angle BFA=\phi$.由余弦定理,
$$
\cos\phi=\frac{FB^2+FA^2-AB^2}{2FB\cdot FA}=\frac{1}{3}.
$$连接$BF,B’F$.设向量$\overrightarrow{FB}$和向量$\overrightarrow{FB’}$的夹角为$\theta$,其中$\theta\in [0,\pi-\phi]$.易得
\begin{equation}\label{eq:1}
A’B’=BF\cos\theta+AF\cos(\pi-\theta-\phi)=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos\theta+\frac{\sqrt{6}}{3}\sin\theta.
\end{equation}
$$
AA’=AF\sin(\pi-\theta-\phi)=\frac{\sqrt{3}}{6}\sin\theta+\frac{\sqrt{6}}{3}\cos\theta.
$$
\begin{equation}\label{eq:2}
CA’^{2}=CA^2-AA’^2=\frac{5}{8}-\frac{7}{24}\cos 2\theta-\frac{\sqrt{2}}{6}\sin 2\theta.
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:3}
BB’=BF\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta,B’C^2=BC^2-BB’^2=1-\frac{3}{4}\sin^2\theta.
\end{equation}
这样,我们就求出了$\triangle A’B’C$三边的长度.由余弦定理易得$B’C$边上的中线$E’A’$的长度满足
\begin{align*}
E’A’^2&=\frac{1}{2}A’B’^2+\frac{1}{2}A’C^2-\frac{1}{4}B’C^2
\\&=\frac{\sqrt{2}}{12}\sin
2\theta-\frac{31}{96}\cos 2\theta+\frac{13}{32}
\\&\geq
-\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{12}\right)^2+\left(\frac{31}{96}\right)^{2}}+\frac{13}{32}
\\&=\frac{1}{16}.
\end{align*}
等号当且仅当$\theta=\arctan(4 \sqrt{2})$时成立.因此$E’A’$的最小值为$\frac{1}{4}$.设$AE$与平面$\alpha$所成的最大角为$\gamma$,则
$$
AE\cos\gamma=E’A’=\frac{1}{4}\Rightarrow
\cos\gamma=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \sin\gamma=\frac{\sqrt{33}}{6}.
$$
于是,答案就是$\frac{\sqrt{33}}{6}$.