叶卢庆的博客

一道二次函数题

题目:试证不存在同时满足下列条件的二次多项式$f(x):$

  • 当$-1\leq x\leq 1$时,$|f(x)|\leq 1$.
  • $|f(2)| > 8$.

证明:由Lagrange插值公式,可得
$$
f(x)=f(2)\frac{(x+1)(x-1)}{(2+1)(2-1)}+f(1)\frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}+f(-1)\frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}
$$
则由上式可得
\begin{align*}
|f(0)|&=\left|\frac{1}{3}f(2)-\left(f(1)+\frac{1}{3}f(-1)\right)\right|
\\&\geq \frac{1}{3}|f(2)|-\left|f(1)+\frac{1}{3}f(-1)\right|
\\& > \frac{8}{3}-\left(1+\frac{1}{3}\right)
\\&=\frac{4}{3}.
\end{align*}
这与$|f(0)|\leq 1$矛盾.因此满足题设条件的二次多项式$f(x)$不存在.