叶卢庆的博客

一道二次函数题另解

题目:对实数$a>b>c$,求证方程
\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0
\end{equation}
总有两个实根,一个大于$b$,一个小于$b$.

证明1::令$g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$.则由闭区间上的连续函数有最大值,可得在区间$(c,b)$内,$g(x)$存在极大值.在区间$(b,a)$内,$g(x)$也存在极大值.而且,由于$g’(x)=0$最多只有两个根,因此$g(x)$的极大值只可能是这两个.由于$p(x)=\ln x$在定义域内单调递增,因此
$$
f(x)=\ln (x-a)+\ln (x-b)+\ln(x-c)=\ln (x-a)(x-b)(x-c)=\ln g(x)=p(g(x))
$$
在区间$(c,b)$内存在极大值,在区间$(b,a)$内存在极大值.且$f(x)$的极大值只可能是这两个.因此
$$
f’(x)=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}
$$
只有两个实根,一个实根位于区间$(c,b)$,一个实根位于区间$(b,a)$.

证明2:方程\eqref{eq:1}等价于
\begin{equation}\label{eq:2}
(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0(x\neq a,b,c).
\end{equation}
令$g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$,则方程\eqref{eq:2}等价于
$$
g’(x)=0.
$$
我们只要证明,在区间$(c,b)$和$(b,a)$内,$g(x)$有两个极值点,即可证明题目.而由闭区间上连续函数的性质,这是显然的.