叶卢庆的博客

2016年3月温州市学考模拟两道题另解

2016年3月温州市学考模拟数学试题在此.详细评分细则在此.解答题最后一题如下,我给出另解.

题目:设$a\in \mathbf{R}$,函数$f(x)=|x^2+ax|$.

  • 若$f(x)$在$[0,1]$上单调递增,求$a$的取值范围.
  • 记$M(a)$为$f(x)$在$[0,1]$上的最大值,求$M(a)$的最小值.
  • :易得$f(x)$和$g(x)=\left(f(x)\right)^2=(x^2+ax)^2$的单调性相同.因此$f(x)$在$[0,1]$上单调递增等价于$g(x)$在$[0,1]$上单调递增.也即,当$x\in [0,1]$时,恒有$$g’(x)=2(2x+a)(x^2+ax)\geq 0\iff (2x+a)(x+a)\geq 0.$$解该关于$a$的一元二次不等式,可得$a\leq -2x$或$a\geq -x$恒成立.因此$a\leq -2$或$a\geq 0$.

  • :易得$M(a)=\max\{f(1),f(-\frac{a}{2})\}=\max\{|1+a|,\frac{a^2}{4}\}$.

  • 当$a\leq -2$或$a\geq 0$时,由于$f(x)$在$[0,1]$上单调递增,此时$M(a)=f(1)=|1+a|$的最小值为$1$.
  • 当$-2<a<0$,且当$\frac{a^2}{4}\geq |1+a|$时,解得$a\in (-2,2-2\sqrt{2}]$,此时, $M(a)=\frac{a^2}{4}\geq\frac{(2-2 \sqrt{2})^2}{4}=3-2 \sqrt{2}$,等号在$a=2-2 \sqrt{2}$时取到.
  • 当$-2<a<0$,且当$\frac{a^2}{4}\leq |1+a|$时,解得 $a\in [2-2 \sqrt{2},0)$.此时,$M(a)=|1+a|\geq |1+2-2 \sqrt{2}|=3-2\sqrt{2}$.等号当$a= 2-2 \sqrt{2}$时取到.

综上所述,当$a=2-2 \sqrt{2}$时,$M(a)$取到最小值$2-2 \sqrt{2}$.


填空题最后一题如下.

题目:已知$\triangle ABC$中的内角$A,B,C$所对的边分别是$a,b,c$.若$a=1$,$C-B=\frac{\pi}{2}$,则$c-b$的取值范围是?

此题除了应用正弦定理,再利用三角公式来解外,还有几何解法如下:
图1

解:如图1所示,由于$C > B$,因此由大角对大边,可得$c > b$.在边$AB$上取点$D$,使得$AD=AC=b$.则$c-b=AB-AD=BD$.设$\angle ADC=\angle ACD=\gamma$,$B=\beta$,$\angle BCD=\alpha$.则由题意,
$$
\gamma+\alpha-\beta=\frac{\pi}{2},
$$
结合$\gamma=\beta+\alpha$,可得$\alpha=\frac{\pi}{4}$.由正弦定理,
$$
\frac{BD}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin(\pi-\gamma)}.\Rightarrow BD=\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac{1}{\sqrt{2}\sin\gamma}.
$$
由于$\frac{\pi}{2} < \beta+C=2\beta+\frac{\pi}{2} < \pi$,因此$0 < \beta < \frac{\pi}{4}$.因此$\frac{\pi}{4} < \gamma=\beta+\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.因此$$c-b=BD=\frac{1}{\sqrt{2}\sin\gamma}\in (\frac{\sqrt{2}}{2},1).$$