叶卢庆的博客

2015年广州市高二数学竞赛最后一题的几何解法

下面我们来解决2015年广州市高二数学竞赛最后一题.本来此题用导数可以很容易解决,但是学生没学过导数,便用另外的方法来解.

题目:已知函数$f(x)=\tan x-x(0<x<\frac{\pi}{2})$.

  • 试判断函数$f(x)$的单调性,并说明理由.
  • 若数列$\{a_n\}$满足$0<a_1<\frac{\pi}{4}$,$a_{n+1}=f(a_n)$,$n\in\mathbf{N}^+$,证明:$0<a_{n+1}<a_n<\frac{\pi}{4}$.
    图1
    证明:如图1所示,当$\angle AOB=\alpha$,且$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$时,易得扇形$AOB$的面积$S_{\mbox{扇形}AOB}=\frac{\alpha}{2}$,三角形$AOC$的面积$S_{\triangle AOC}=\frac{\tan\alpha}{2}$.则曲边三角形$ABC$的面积
    $$
    S_{\mbox{曲边三角形}ABC}=S_{\triangle AOC}-S_{\mbox{扇形}AOB}=\frac{1}{2}\left(\tan\alpha-\alpha\right).
    $$

  • 为了判段函数$f(x)$在定义域内单调递增,我们只用证明,当$\alpha$增大时,$S_{\mbox{曲边三角形}ABC}$增大即可.这是容易的,如图2所示,当$\alpha$在$(0,\frac{\pi}{2})$内增大时,得到的曲边三角形$AB_2C_{2}$覆盖了曲边三角形$AB_1C_1$,因此$S_{\mbox{曲边三角形}AB_2C_2}>S_{\mbox{曲边三角形}AB_1C_1}$.因此$f(x)$在定义域内单调递增.

图1

  • 我们先证明,当$\alpha\in (0,\frac{\pi}{4})$时
    \begin{equation}\label{eq:1}
    f(\alpha)<\alpha \iff \frac{1}{2}(\tan\alpha-\alpha)<\frac{1}{2}\alpha.
    \end{equation}
    如图1所示,也即证明,当$\alpha\in (0,\frac{\pi}{4})$时,扇形$AOB$的面积$S_{\mbox{扇形}AOB}$大于曲边三角形$ABC$的面积$S_{\mbox{曲边三角形}ABC}$.为此,连接$AB$,我们只用证明三角形$AOB$的面积$S_{\triangle AOB}$大于三角形$ABC$的面积$S_{\triangle ABC}$即可.分别以$OB$和$BC$为底的时候,两个三角形的高都是相同的.为此我们只需要证明当$\alpha\in(0,\frac{\pi}{4})$时,$OB>BC$即可.$OB=1$,$BC=\frac{1}{\cos\alpha}-1$.可见,我们只需要证明
    $$
    1>\frac{1}{\cos\alpha}-1
    $$
    即可.这是成立的,因为$\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos\alpha<1$,所以
    $$
    0<\frac{1}{\cos\alpha}-1<\sqrt{2}-1<1.
    $$
    这样我们就证明了关系式\eqref{eq:1}.由此可得
    \begin{equation}\label{eq:2}
    \cdots<a_{n+1}=f(a_{n})<a_{n}=f(a_{n-1})<\cdots<a_4=f(a_3)<a_3=f(a_2)<a_2=f(a_1)<a_1<\frac{\pi}{4}
    \end{equation}
    证毕.