叶卢庆的博客

利用基底法解一道课后立体几何题

题目:如图,空间四边形$OABC$各边以及$AO,BC$的长都是$1$,点$D,E$分别是边$OA,BC$的中点,连接$DE$.

  • 计算$DE$的长.
  • 求点$O$到平面$ABC$的距离.
    图
    证明:
  • 以${\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}$为基底.将其它向量都用基底中的向量表示.
    \begin{align*}
    \overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}
    \\&=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}
    \\&=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})
    \\&=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.
    \end{align*}
    因此
    \begin{align*}
    |\overrightarrow{DE}|^2&=\overrightarrow{DE}^2
    \\&=\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}\right)^2
    \\&=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}^2+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}^2+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}
    \\&=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos
    60^{\circ}-\frac{1}{2}\cos 60^{\circ}+\frac{1}{2}\cos 60^{\circ}
    \\&=\frac{1}{2}.
    \end{align*}
    因此$|DE|=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
  • 设点$P$是平面$ABC$上的任意一点,则
    $$
    \overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC},
    $$
    其中$x+y+z=1$.当$OP\perp \mbox{面}ABC$时,有
    $$
    \begin{cases}
    \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AB}=0\\
    \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AC}=0
    \end{cases}\iff
    \begin{cases}
    \left(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=0\\
    \left(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)=0
    \end{cases}.
    $$
    也即,
    $$
    \begin{cases}
    -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\\
    -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z=0
    \end{cases},
    $$
    解得$x=y=z=\frac{1}{3}$.此时,
    $$
    \overrightarrow{OP}^{2}=\frac{1}{9}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)^2=\frac{2}{3},
    $$
    因此$|OP|=\frac{\sqrt{6}}{3}$.于是点$O$到面$ABC$的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.