叶卢庆的博客

利用基底的观念解一道立体几何高考题

2014年全国高考新课标I卷立体几何题如下:

题目:如图,三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中,侧面$BB_1C_1C$为菱形,$AB\perp B_1C$.

  • 证明:$AC=AB_1$.
  • 若$AC\perp AB_1$,$\angle CBB_1=60^{\circ}$,$AB=BC$.求二面角$A-A_1B_1-C_1$的余弦值.

图
证明: 以$\{\overrightarrow{BB_{1}},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\}$为基底,将其它向量用该基底中的向量表示,将题目中的条件也尽量翻译成基底中的向量的关系.侧面$BB_1C_1C$是菱形说明
\begin{equation}
\label{eq:1}
|\overrightarrow{BB_1}|=|\overrightarrow{BC}|\iff \overrightarrow{BB_1}^{2}=\overrightarrow{BC}^{2}.
\end{equation}
$AB\perp B_1C$说明
\begin{equation}
\label{eq:2}
\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{B_1C}=0\iff \overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BB_1})=0.\iff \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BB_1}.
\end{equation}

  • 为了证明$AC=AB_1$,只用证明
    \begin{equation}\label{eq:3}
    (\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})^2=(\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BA})^2\iff
    \overrightarrow{BC}^2+\overrightarrow{BA}^2-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BB_1}^2+\overrightarrow{BA}^2-2\overrightarrow{BB_1}\cdot \overrightarrow{BA}.
    \end{equation}
    方程\eqref{eq:1}和方程\eqref{eq:2}结合很容易推出方程\eqref{eq:3},命题得证.
  • 可得基底中的三个向量长度相等,设$|\overrightarrow{BB_1}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{BA}|=a$,且由方程\eqref{eq:2},$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角等于$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BB_1}$的夹角,设为$\theta$.$AC\perp AB_1$说明
    \begin{equation}
    \label{eq:4}
    (\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})\cdot (\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BA})=0.\iff \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{BA}^2=0.
    \end{equation}
    方程\eqref{eq:4}结合方程\eqref{eq:2}可得
    \begin{equation}
    \label{eq:5}
    \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BB_1}-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}^2=0\iff a^2\cos
    60^{\circ}-2a^2\cos\theta+a^2=0\iff \cos\theta=\frac{3}{4}.
    \end{equation}
    平面$ABC$的一个法向量是
    $$
    \overrightarrow{v}=\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}.(\mbox{这里的}\times\mbox{是向量外积})
    $$
    平面$ABB_1A_1$的一个法向量是
    $$
    \overrightarrow{u}=\overrightarrow{BB_1}\times\overrightarrow{BA}.
    $$
    二面角$A-A_1B_1-C_1$的平面角的大小,就是向量$\overrightarrow{v}$和向量$\overrightarrow{u}$的夹角$\phi$.
    \begin{align*}
    \cos\phi&=\frac{\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{v}|\cdot|\overrightarrow{u}|}
    \\&=\frac{(\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC})\cdot
    (\overrightarrow{BB_1}\times\overrightarrow{BA})}{|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}|\cdot
    |\overrightarrow{BB_1}\times\overrightarrow{BA}|}
    \\&=\frac{(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BB_{1}})(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA})-(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BA})(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BB_{1}})}{|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}|\cdot|\overrightarrow{BB_{1}}\times\overrightarrow{BA}|}(\mbox{Lagrange恒等式})
    \\&=\frac{a^2\cos\theta\cdot
    a^2\cos\theta-a^2\cdot a^2\cos 60^{\circ}}{a^2\sin\theta\cdot a^2\sin\theta}
    \\&=\frac{\frac{9}{16}-\frac{1}{2}}{1-\frac{9}{16}}
    \\&=\frac{1}{7}.
    \end{align*}
    因此二面角$A-A_1B_{1}-C_1$的余弦值为$\frac{1}{7}$.