叶卢庆的博客

数形结合解一道向量内积题

有一个同学问我《浙江省普通高中学业水平考试导引》(2014级适用)第6章的一道填空题:

题目:已知向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$满足$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$,向量$\mathbf{c}$满足$(\mathbf{c}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{b})=0$,$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=5$,$|\mathbf{a}-\mathbf{c}|=3$,则$\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$的最大值为?



:如图1所示,作直角三角形$\triangle ABC$,其中$|AC|=3,|BC|=4,|AB|=5$.以$AB$中点$O$为圆心,以$|OA|$为半径,作圆$O$.在圆上任取一个点$M$.令
$$
\overrightarrow{AM}=\mathbf{a},\overrightarrow{BM}=\mathbf{b},\overrightarrow{CM}=\mathbf{c},
$$
则这样得到的向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$满足题目条件,且满足题目条件的向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$都可以这样得到.

由定义,$\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{a}||\mathbf{c}|\cos\angle CMA$.当点$M$位于劣弧$CA$上时,$\angle CMA$是钝角,此时$\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$不可能最大.因此让点$M$位于优弧$CA$上.此时,$\cos\angle CMA=\cos\angle CBA=\frac{4}{5}$.于是,
$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\frac{4}{5}|\mathbf{a}||\mathbf{c}|.
$$
由正弦定理,
$$
\frac{|\mathbf{a}|}{\sin \angle
ACM}=\frac{|\mathbf{c}-\mathbf{a}|}{\sin \angle CMA}\Rightarrow
|\mathbf{a}|=\frac{3\sin\angle ACM}{\sin\angle CMA}=5\sin\angle ACM.
$$
同理,
$$
\frac{|\mathbf{c}|}{\sin\angle CAM}=\frac{|\mathbf{c}-\mathbf{a}|}{\sin\angle CMA}\Rightarrow |\mathbf{c}|=\frac{3\sin\angle CAM}{\sin\angle CMA}=5\sin\angle CAM.
$$
因此
\begin{align*}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}&=\frac{4}{5}|\mathbf{a}||\mathbf{c}|
\\&=20\sin\angle ACM\sin\angle CAM
\\&=10[\cos(\angle ACM-\angle CAM)-\cos(\angle ACM+\angle CAM)]
\\&=10[\cos(\angle ACM-\angle CAM)+\cos\angle CMA]
\\&=10[\cos(\angle ACM-\angle CAM)+\frac{4}{5}]
\\&\leq 10(1+\frac{4}{5})
\\&=18.
\end{align*}
等号当且仅当$\angle ACM=\angle CAM$时成立.可见,$\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$的最大值为$18$.