叶卢庆的博客

一道与外心有关的向量题

有一个同学问我《浙江省普通高中学业水平考试导引》(2014级适用)第六章上的一道选择题.这题让我想了几分钟.现记录如下:

题目:已知$\triangle ABC$中,$AB=2,AC=4$,$O$为$\triangle ABC$的外心,则$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BC}=?$

解:设$\triangle ABC$外接圆半径为$R$,则
\begin{equation}
\overrightarrow{AO}\cdot
\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{OA}\cdot
\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)
=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}
\end{equation}
而我们知道,
\begin{equation}\label{eq:1}
\overrightarrow{AB}^2=\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)^2=4\iff R^2-\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=2.
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:2}
\overrightarrow{AC}^2=\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)^2=16\iff R^2-\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=8.
\end{equation}
方程\eqref{eq:2}减去方程\eqref{eq:1}可得
\begin{equation}
\label{eq:3}
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=8-2=6.
\end{equation}