叶卢庆的博客

圆关于圆的反演的几点观察

图1
如图所示,已知平面上的两个圆$A$和圆$B$,它们的圆心分别为$A,B$.作圆$B$关于圆$A$的反演图形.下面我们来证明这个反演图形是一个圆,记为$B’$.

证明:设直线$AB$与圆$B$交于$C,D$两点.点$C$和点$D$关于圆$A$的反演点分别为$C’$和$D’$.显然$C’,D’$在图形$B’$上.对于图形$B’$上的任意一个点$E’$来说,点$E’$都是圆$B$上的点$E$关于圆$A$反演得到的.我们只要证明$\angle D’E’C’=90^{\circ}$始终成立,便可证明图形$B’$是圆.

根据反演的定义,$AE’\cdot AE=AD’\cdot AD=R^2$,其中$R$是圆$A$的半径,因此可得$\triangle AE’D’\sim \triangle ADE$.同理,$\triangle AC’E’\sim\triangle AEC$.因此便有$\angle AD’E’=\angle AED$,$\angle AC’E’=\angle AEC$,而$\angle AED-\angle AEC=\angle CED=90^{\circ}$,因此$\angle AD’E’-\angle AC’E’=90^{\circ}=\angle D’E’C’$.这样我们就证明了图形$B’$是圆.$\Box$


对于圆$B$上一点$E$,设直线$EA$与圆$B’$不仅交于点$E$的反演点$E’$,还交于点$F$.下面我们来证明$CF\parallel DE$,$DF\parallel CE$.

证明:先证明$CF\parallel DE$,也即证明$\angle FC’D’=\angle EDC$.由于$\triangle AED\sim\triangle AD’E’$,因此$\angle EDC=\angle AE’D’$.因此我们只要证明$\angle FC’D’=\angle AE’D’$即可.而这是显然的,因为$\angle FC’D’$与$\angle D’E’F$互补,而$\angle AE’D’$与$\angle D’E’F$也互补.基于类似的理由也很容易推出$\angle AFD’=\angle AEC$.因此$CF\parallel DE$,$DF\parallel CE$.$\Box$


如图,若直线$l$过圆$A$的圆心,且与圆$B$交于点$E$.$l$与圆周$B$在点$E$处所形成的夹角是$\theta$.作圆$B$关于圆$A$的反演圆$B’$,作点$E$关于圆$A$的反演点$E’$.则$l$与圆$B’$在点$E’$处所形成的夹角也为$\theta$.

图2
证明:圆$B$和圆$B’$的圆心分别为$B$和$B’$.我们只用证明直线$BE$与直线$l$形成的夹角等于直线$B’E’$与直线$l$形成的夹角即可.设直线$l$与圆$B$不仅交于点$E$,还交于点$F$.由上所述的第二个性质,可得$B’E’\parallel BF$,因此$\angle B’E’A=\angle BFA$.由于$\angle BFA=\angle BEF$,因此$\angle B’E’A=\angle BEF$.