叶卢庆的博客

几何法解人教版高中数学必修2第4.1.2节例5

下面是人教版高中数学必修2第4.1.2节例5:

题目:已知线段$AB$的端点$B$的坐标是$(4,3)$,端点$A$在圆$(x+1)^2+y^2=4$上运动,求线段$AB$的中点$M$的轨迹方程.

此题用代数方法很容易,实际上在这里代数解法是比几何方法更先进的方法.但是我们不妨试试几何解法.

解:设圆$C:(x+1)^2+y^2=4$的圆心为$C:(-1,0)$.如图所示,我们就不画出坐标轴了.
图1
作直线$BC$,与圆$C$交于$F,G$.设线段$GB$的中点为$E$,线段$FB$的中点为$D$.由于
$$
\begin{cases}
BE=\frac{1}{2}BG\\
BM=\frac{1}{2}BA\\
\angle EBM=\angle GBA
\end{cases},
$$
因此$\triangle EBM\sim\triangle GBA$,因此$EM\parallel GA$.同理,可得$DM\parallel FA$.由于点$A$在圆$C$上运动,因此$GA\perp FA$.于是$EM\perp DM$.可见,点$M$的轨迹是以$D,E$为直径的圆.这样点$M$的轨迹方程就很容易求出来了.