叶卢庆的博客

从连通开集与道路连通开集的构造看两者的等价性

在博文开集连通当且仅当道路连通里,我们证明了$\mathbf{R}^2$中的一个开集连通,当且仅当它道路连通.子曰,:“温故而知新,可以为师矣.”在数学里,我们需要不时地回顾已经学过的东西,特别是回顾那些自己觉得还没理解透的东西,力求得到新的理解.在此,我们从连通开集与道路连通开集的构造,重新来看为什么$\mathbf{R}^2$中的开集合连通当且仅当道路连通.

我们先说明道路连通的开集合的构造.设$\Omega$是$\mathbf{R}^2$中一个道路连通的开集合.取$\Omega$中的任意一点,以该点为圆心作一个半径尽量大的圆盘(当$\Omega$是$\mathbf{R}^2$平面时,圆盘半径无限大;当$\Omega$是空集时,该圆盘半径为$0$),满足该圆盘含于$\Omega$.对于该圆盘边界上的每一点来说,再以该点为圆心作一个半径尽量大的开圆盘,使得做出的开圆盘仍然含于$\Omega$.当然,开圆盘的半径可能为$0$,此时开圆盘是空集.再不断地以新做出的开圆盘上的每一点为圆心作半径尽量大的开圆盘,使得新作出的开圆盘含于$\Omega$.这样不断地操作下去,会得到有限或无限个开圆盘.我们来证明,所有这些开圆盘的并,就是$\Omega$.这是因为,对于$\Omega$中的任意一点$\phi$,取开圆盘的并中的异于点$\phi$的任意一点$\theta$,由于$\Omega$是道路连通的,因此存在一条含于$\Omega$的连续曲线,能连接点$\phi$和点$\theta$.这条线的一端$\theta$是位于开圆盘内的,由开圆盘的作法,易得整条线都将位于开圆盘内,自然点$\phi$也会位于开圆盘内(如图1).这样我们就证明了$\Omega$含于所有开圆盘的并.而所有开圆盘的并也含于$\Omega$,因此$\Omega$就是所有开圆盘的并.

图1

我们再说明连通开集合的构造.设$\Omega$是$\mathbf{R}^2$中一个连通的开集合.取$\Omega$中的任意一点,以该点为圆心作一个半径尽量大的圆盘(当$\Omega$是$\mathbf{R}^2$平面时,圆盘半径无限大;当$\Omega$是空集时,该圆盘半径为$0$),使得作出的圆盘仍然含于$\Omega$.当然,开圆盘的半径可能为$0$,此时开圆盘是空集.再不断地以新做出的开圆盘上的每一点为圆心作半径尽量大的开圆盘,使得新作出的开圆盘含于$\Omega$.这样不断地操作下去,则我们会得到有限或无限个开圆盘.我们来证明,我们得到的所有开圆盘的并,就是$\Omega$.这是因为,假如所有这些开圆盘的并使$\Omega$的真子集,则必定还存在另外一些开圆盘,使得另外一些开圆盘中的任何一个圆盘都与我们得到的开圆盘中的任意一个圆盘不相交.这样,所有的另外开圆盘的并是一个开集,我们已经得到的所有开圆盘的并也是一个开集,而且这两个开集不相交,$\Omega$正好就是这两个开集并成.这与$\Omega$是一个连通集合矛盾.所以,我们得到的所有开圆盘的并,其实就是$\Omega$.

从上面的两段话可以发现,$\mathbf{R}^2$中的道路连通开集与连通开集的构造方式是一样的,因此$\mathbf{R}^2$中的开集连通当且仅当其道路连通.