叶卢庆的博客

2009年浙江省高中数学竞赛第20题简证

这是2009年浙江省高中数学竞赛第20题:

题目:设函数$f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b$,其中$a>0$,$b$为任意常数.证明:当$0\leq x\leq 1$时,有$|f(x)|\leq \max(f(0),f(1))$.

网上的答案采用十分繁琐的分类讨论.在此,我给出一个简洁的证明.

证明:设$\max(f(0),f(1))=p$.由于$f(0)+f(1)=a>0$,因此$f(0),f(1)$中至少有一个大于$0$,因此$p>0$.且易得$f(x)=x(3x-2)f(1)+(1-x)(1-3x)f(0)$,因此
\begin{align*}
|f(x)|&=\left|x(3x-2)f(1)+(1-x)(1-3x)f(0)\right|
\\&\leq p\left|x(3x-2)\pm (1-x)(1-3x)\right|~~~~(0\leq x\leq 1)
\\&\leq p.
\end{align*}
命题得证.


注:此题的关键是构造出$f(x)=x(3x-2)f(1)+(1-x)(1-3x)f(0)$.这是用二次函数$f(x)$在特殊点处插值而想到的.