叶卢庆的博客

$\sqrt{1+x}$的幂级数展开的另外一种推导方式

我们知道,当$|x|<1$时,由Taylor展开,可得
\begin{equation}
\label{eq:1}
\sqrt{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2}\choose n}x^n.
\end{equation}
下面我们从另外的角度来证明式\eqref{eq:1}.

令$y=\sqrt{1+x}$,则$x=y^2-1$.所以,求导可得
\begin{equation}\label{eq:2}
y=1+\frac{x}{2}+o(x),
\end{equation}
其中$\lim_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0$.将式\eqref{eq:2}代入$x=y^2-1$,化简可得,$o(x)$必须满足
$$
o(x)=-\frac{x^2}{8}+o(x^2),
$$
其中$\lim_{x\to 0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0$.因此式\eqref{eq:2}变成了
$$
y=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2).
$$
再代入$x=y^2-1$,这样不断做下去,就可得到式\eqref{eq:1}.