叶卢庆的博客

双曲线的渐近线

在此,我们简略地说明,

为何双曲线\begin{equation}\label{eq:1}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{equation}的渐近线是
\begin{equation}\label{eq:2}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0
\end{equation}

证明:首先,方程\eqref{eq:2}代表两条直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$和$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0$,这是毫无疑义的.

由于曲线\eqref{eq:2}和曲线\eqref{eq:1}都是关于$x$轴和$y$轴对称的,因此我们只用考虑第一象限的情况即可.即只考虑当$x,y>0$的情形.

设当$x=x_0$时,双曲线上的点的纵坐标为$y_1>0$,即点$(x_0,y_1)$满足方程\eqref{eq:1},而直线上的点的纵坐标为$y_2>0$,即点$(x_0,y_2)$满足方程\eqref{eq:2}.我们只用证明,当$x_0\to +\infty$时,$y_1\to y_2$,即证明了\eqref{eq:2}是\eqref{eq:1}的渐近线.这是容易的,因为
$$
\begin{cases}
\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1\\
\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=0.
\end{cases}
$$
两式相减,可得
$$
y_2^2-y_1^2=b^2.\iff y_2-y_1=\frac{b^2}{y_1+y_2}.
$$
易得当$x_0\to +\infty$时,$y_1,y_2\to +\infty$,因此$y_2-y_1=\frac{b^2}{y_1+y_2}\to 0$.得证.