叶卢庆的博客

幂级数在收敛圆内的一致收敛性

已知,幂级数
\begin{equation}\label{eq:1}
a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots
\end{equation}
在$|x| < R$时收敛,在$|x|>R$是发散,其中$R\geq 0$.则我们称$R$为幂级数\eqref{eq:1}的收敛半径.那么,是否幂级数\eqref{eq:1}在收敛圆$\{x\in
\mathbf{C}:|x| < R\}$内一致收敛呢?答案是否定的.

举一个最简单的例子.将函数$f(x)=\frac{1}{1-x}$在$x=0$处展开,可得
\begin{equation}
\label{eq:2}
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots
\end{equation}
该幂级数的收敛半径为$1$.它在收敛圆盘$\{x\in \mathbf{C}:|x| < 1\}$内就不是一致收敛的.事实上,$x$越接近$0$,幂级数\eqref{eq:2}的收敛速度就越快,越接近$1$,幂级数\eqref{eq:2}的收敛速度就越慢.比方说,在该幂级数中,当$x=0.9999$的时候,$0.9999^n$需要在正整数$n\geq 23025$时,才会小于$0.1$.而当$x=0.9$时,$0.9^n$在正整数$n\geq 22$时就变会变得小于$0.1$.

但是,幂级数\eqref{eq:1}在收敛圆上是内闭一致收敛的.也即,对于任意的$0\leq R’ < R$,幂级数\eqref{eq:1}在圆盘$\{x\in \mathbf{C}:|x|\leq R’\}$上是一致收敛的.理由如下:

证明:由于幂级数\eqref{eq:1}在收敛圆$\{x\in \mathbf{C}:|x| < R\}$内绝对收敛,因此对于任意$\varepsilon>0$,都存在相应正整数$N$,使得$\forall m\geq N$和任意$x\in \{x\in \mathbf{C}:|x|\leq R’\}$,
$$
|a_mx^{m}|+|a_{m+1}x^{m+1}|+\cdots+|a_{m+p}x^{m+p}|+\cdots\leq |a_mR’^{m}|+|a_{m+1}R’^{m+1}|+\cdots+|a_{m+p}R’^{m+p}|+\cdots\leq \varepsilon.
$$
因此
$$
|a_mx^{m}+a_{m+1}x^{m+1}+\cdots+a_{m+p}x^{m+p}+\cdots|\leq |a_mx^{m}|+|a_{m+1}x^{m+1}|+\cdots+|a_{m+p}x^{m+p}|+\cdots\leq\varepsilon.
$$
由Weierstrass-M判别法,可得幂级数\eqref{eq:1}在$\{x\in\mathbf{C}:|x|\leq R’\}$内一致收敛.$\Box$

我还有猜想如下:

猜想:幂级数\eqref{eq:1}在收敛圆$\{x\in \mathbf{C}:|x| < R\}$的边界上处处收敛,当且仅当幂级数在收敛圆$\{x\in \mathbf{C}:|x| < R\}$内一致收敛.

这个猜想正确与否,放在以后验证.