叶卢庆的博客

等比级数与不动点迭代

我自拟了如下题目:

题目:平面直角坐标系$xOy$中,有直线$y=x$和直线$y=kx+1$,其中$-1<k<1$.令$P_0=(0,0)$.对于任意的自然数$i$,我们规定,

  • 过点$P_{i}$作$x$轴的垂线,垂线与直线$y=kx+1$相交,交点记为$Q_i$.
  • 过点$Q_i$作$y$轴的垂线,垂线与直线$y=x$相交,交点记为$P_{i+1}$.
    求点$Q_n$的坐标.

图1
:设点$Q_n$的纵坐标为$q_n$.容易得$q_0=1$,$q_{n+1}=kq_n+1$.因此容易解得
$$
q_n=1+k+k^2+\cdots+k^n=\frac{1-k^{n+1}}{1-k}.
$$
同样易得$Q_n$的横坐标为$\frac{1-k^{n}}{1-k}$.因此点$Q_n$的坐标为$(\frac{1-k^{n}}{1-k},\frac{1-k^{n+1}}{1-k})$.$\Box$

这个题目反映了等比级数求和的几何意义.也反映了等比级数与不动点迭代之间的关系.