叶卢庆的博客

2015年高考数学新课标全国二卷解析几何题

题目:已知椭圆$C:9x^2+y^2=m^2(m>0)$,直线$l$不过原点$O$且不平行于坐标轴,$l$与$C$有两个交点$A,B$,线段$AB$的中点为$M$.

  • 证明:直线$OM$的斜率与$l$的斜率的乘积为定值.
  • 若$l$过点$(\frac{m}{3},m)$,延长线段$OM$与$C$交于点$P$.四边形$OAPB$能否为平行四边形?若能,求此时$l$的斜率;若不能,说明理由.

:

  • 设点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$在椭圆上,则点$M$的坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$.直线$OM$的斜率$k_{OM}=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}$.而直线$l$的斜率为$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.我们的目标是证明
    $$
    \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot \frac{y_2+y_1}{x_2+x_1}=\frac{y_2^2-y_1^2}{x_2^2-x_1^2}
    $$
    是定值.由于点$A,B$在椭圆上,因此
    \begin{equation}\label{eq:1}
    \begin{cases}
    9x_1^2+y_1^2=m^2\\
    9x_2^2+y_2^2=m^2.
    \end{cases}
    \end{equation}
    两式相减可得
    $$
    9(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)=0\iff \frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-9.
    $$
    这样我们就证明了直线$OM$的斜率乘以直线$l$的斜率是定值$-9$.

  • 曲线$\{(x,y):9x^2+y^{2}=m^{2}\}\cup \{(\frac{m}{3},m)\}$的形状与$m$的具体数值无关.因此不妨令$m=3$.四边形$OAPB$是平行四边形当且仅当向量$\overrightarrow{OA}$和向量$\overrightarrow{OB}$不共线,且
    $$
    \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB},
    $$
    即$OAPB$是平行四边形当且仅当$l$与椭圆有两个交点,且点$P$的坐标为$(x_1+x_2,y_1+y_2)$.由于点$P$在椭圆上,因此
    \begin{equation}
    \label{eq:2}
    9(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2=9.
    \end{equation}
    方程\eqref{eq:2}与方程\eqref{eq:1}联立,可得
    \begin{equation}
    \label{eq:3}
    9+18x_1x_2+2y_1y_2=0.
    \end{equation}
    设直线$l$的斜率为$k$,则$l$的方程为
    \begin{equation}\label{eq:4}
    y-3=k(x-1).
    \end{equation}
    将直线方程与椭圆方程
    \begin{equation}
    \label{eq:5}
    9x^2+y^2=9
    \end{equation}
    联立,消去$y$,可得仅关于$x$的一元二次方程
    \begin{equation}
    \label{eq:6}
    (k^2+9)x^2+(6k-2k^2)x+k^2-6k=0.
    \end{equation}
    该关于$x$的一元二次方程要有两个解,即
    $$
    (6k-2k^2)^2-4(k^2+9)(k^2-6k)>0,
    $$
    解得$k>0$.且$x_1,x_2$是该一元二次方程的两个根,因此由韦达定理,
    $$
    x_1x_2=\frac{k^2-6k}{k^2+9},x_1+x_2=\frac{2k^2-6k}{k^2+9}.
    $$
    而由方程\eqref{eq:4},
    $$
    y_1y_2=\left[(3-k)+kx_1\right]\left[(3-k)+kx_2\right]=(3-k)^2+k(3-k)(x_1+x_2)+k^2x_1x_2.
    $$
    因此
    \begin{align*}
    18x_1x_2+2y_1y_2&=2(3-k)^2+2k(3-k)(x_1+x_2)+(2k^2+18)x_1x_2
    \\&=\frac{18(k^2-12k+9)}{k^2+9}=-9.
    \end{align*}
    解得$k=4\pm \sqrt{7}$.这两个根都大于$0$.综上所述,当直线$l$的斜率为$4+\sqrt{7}$或$4-\sqrt{7}$时,四边形$OAPB$是平行四边形.


:当然此题也可以用伸缩变换把椭圆问题化成圆的问题.这样是简单很多的.相信也是命题者的思路.在此从略.