叶卢庆的博客

用切线法证明一个不等式

这是永临中学2015学年高二数学竞赛第11题:

题目:若$0<a,b,c<1$,满足条件$ab+bc+ca=1$,则$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$的最小值是?

图1
解:首先,对于任意$a<1$,我们有关系
\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{1}{1-a}\geq \frac{6+3 \sqrt{3}}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{equation}
成立,其中等号当且仅当$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$时成立.这是简单的代数验证.当然这从图像上也能直接看出.实际上,直线$y=\frac{6+3\sqrt{3}}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}$正是双曲线的一支$y=\frac{1}{1-x}(x<1)$在点$(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}+3}{2})$处的切线.同理有
\begin{equation}\label{eq:2}
\frac{1}{1-b}\geq \frac{6+3 \sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2},
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:3}
\frac{1}{1-c}\geq \frac{6+3 \sqrt{3}}{2}c-\frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{equation}
三个不等式\eqref{eq:1},\eqref{eq:2},\eqref{eq:3}相加,可得
\begin{equation}
\label{eq:4}
\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{6+3
\sqrt{3}}{2}(a+b+c)-\frac{3}{2}\sqrt{3},
\end{equation}
等号当且仅当$a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$时成立.而我们知道,
\begin{align*}
2(a+b+c)^2&=2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)
\\&=(a^2+b^2)+(b^{2}+c^2)+(c^2+a^2)+4
\\&\geq 2ab+2bc+2ca+4
\\&=6.
\end{align*}
可见,
$$
a+b+c\geq \sqrt{3},
$$
等号当且仅当$a=b=c$时成立.代入不等式\eqref{eq:4},可得
$$
\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{6+3
\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{3}=\frac{3 \sqrt{3}+9}{2},
$$
等号当且仅当$a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$时成立.