叶卢庆的博客

一个双曲线轨迹方程问题在椭圆中的类似命题

昨天从吴友爱老师那里看到一道有意思的题目:

题目:如图1,是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.$F_1,F_{2}$分别是双曲线的左右焦点.$P$是双曲线上的动点.作$\angle F_1PF_2$的角平分线,再过点$F_1$作角平分线的垂线,垂足为$P’$.求点$P’$的轨迹方程.

图1
图2
:如图2所示,延长$PF_2$,交直线$F_1P’$于点$Q$.
$$
\begin{cases}
PP’\mbox{是}\angle F_1PQ\mbox{的角平分线}\\
PP’=PP’\\
\angle F_1P’P=\angle QP’P=90^{\circ}
\end{cases}\Rightarrow |PF_1|=|PQ|.
$$
由双曲线的定义,
$$
|PF_1-PF_2|=2a,
$$
因此
$$
|PQ-PF_2|=2a\iff |F_2Q|=2a.
$$
因此动点$Q$的轨迹方程是圆
\begin{equation}
\label{eq:1}
(x-c)^2+y^2=4a^2.
\end{equation}
设点$Q$坐标为$(x_Q,y_Q)$,$P’$坐标是$(x_{P’},y_{P’})$.由于点$P’$是线段$F_1Q$的
中点,因此
$$
\begin{cases}
x_{P’}=\frac{x_Q-c}{2}\\
y_{P’}=\frac{y_Q}{2}.
\end{cases}\Rightarrow x_Q=2x_{P’}+c,y_Q=2y_{P’}.
$$
由于$(x_Q,y_Q)$满足方程\eqref{eq:1},因此有
\begin{equation}
\label{eq:2}
(2x_{P’}+c-c)^2+(2y_{P’})^2=4a^2\iff x_{P’}^2+y_{P’}^2=a^2.
\end{equation}
可见点$P’$的轨迹方程是
\begin{equation}
\label{eq:3}
x^2+y^2=a^2.
\end{equation}
这道题很巧妙地建立了双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$与双曲线的相切圆$x^2+y^2=a^2$之间的关系.稍加改造,我们便能对椭圆构造类似命题,如下.证略.

题目:如图3,是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.$F_1,F_{2}$分别是椭圆的左右焦点.$P$是椭圆上的动点.作$\angle F_1PF_2$外角的角平分线,再过点$F_2$作角平分线的垂线,垂足为$P’$.求证点$P’$的轨迹方程为$x^2+y^2=a^2$.

图3