叶卢庆的博客

如何确定双曲线的所有渐近线

我们来求双曲线
\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation}
的所有渐近线.首先,该双曲线不存在垂直于$x$轴的渐近线.否则,会存在实数$p$,以及满足方程\eqref{eq:1}的无数个点$(x,y)$,使得$\lim_{x\to p}y=\infty$,这显然与方程\eqref{eq:1}矛盾.

因此若双曲线\eqref{eq:1}的渐近线存在,则存在$m,u\in \mathbf{R}$,使得在双曲线\eqref{eq:1}上有无数个点$(x,y)$,满足
\begin{equation}\label{eq:2}y=mx+u+p(x),
\end{equation}
其中$\lim_{x\to\infty}p(x)=0$.将方程\eqref{eq:2}代入方程\eqref{eq:1},可得
\begin{equation}
\label{eq:3}
(\frac{1}{a^2}-\frac{m^2}{b^2})x^2-\frac{2m}{b^{2}}ux+\left(-\frac{2m}{b^{2}}p(x)x-\frac{u^2+p(x)^2+2up(x)}{b^2}-1\right)=0.
\end{equation}
方程\eqref{eq:3}对于任意$x$恒成立,在方程\eqref{eq:3}中,令$x\to\infty$,为了使得方程仍然成立,必须有
$$
\begin{cases}
\frac{1}{a^2}-\frac{m^2}{b^2}=0\\
-\frac{2m}{b^2}u=0
\end{cases}.
$$
解得$m=\pm \frac{b}{a},u=0$,此时,方程\eqref{eq:3}变为
\begin{equation}\label{eq:4}
\frac{2m}{b^{2}}p(x)x+\frac{p(x)^2}{b^2}+1=0,
\end{equation}
易得存在$p(x)$,使得既满足$\lim_{x\to\infty}p(x)=0$,且满足方程\eqref{eq:4}.事实上解方程\eqref{eq:4}便可得
$$
\lim_{x\to\infty}p(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{-\frac{2m}{b^2}x+\sqrt{\frac{4m^2}{b^4}x^2-\frac{4}{b^2}}}{\frac{2}{b^2}}=0.
$$
因此双曲线渐近线有两条,为$y=\pm\frac{b}{a}x$.