叶卢庆的博客

一个猜想的证明

我们来证明如下猜想:

若$f$是$\mathbf{R}$上的实函数,$f(0)=0$,且$f$在$x=0$的某个去心邻域内无限可微.且$\forall n\in \mathbf{N}^+$,$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^n}=0$.则有$\forall m\in \mathbf{N}^+$,$f^{(m)}(0)$存在,且$f^{(m)}(0)=0$.

证明:首先,
$$
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0.
$$
因此$f’(0)$存在且等于$0$.

假设,已知$f^{(k)}(0)$存在,且$f^{(k)}(0)=0$,其中$k\geq 1$.由于$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{k+1}}=0$,连续使用若干次L’Hospital法则,可
得$\lim_{x\to 0}\frac{f^{(k)}(x)}{(k+1)!x}=0$.因此$\lim_{x\to 0}\frac{f^{(k)}(x)}{x}=0$.因此
$$
\lim_{x\to 0}\frac{f^{(k)}(x)-f^{(k)}(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f^{(k)}(x)}{x}=0.
$$
可见,$f^{(k+1)}(0)$存在,且等于$0$.由数学归纳法,对于一切正整数$m$,$f^{(m)}(0)$存在,且等于$0$.

:只在$x=0$处为零的函数
$$
f(x)=
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}},x\neq 0\\
0,x=0.
\end{cases}
$$
满足题目条件,因此该函数在$x=0$处的各阶导数为$0$.这表明函数$f$在$0$处的Taylor展开将不收敛到该函数在$0$的邻域中的任何一个值.