叶卢庆的博客

点在直线上的投影变换

问题:已知$xOy$平面直角坐标系上的直线$l$过原点,且倾斜角为$\alpha$.求点$P(x,y)$在直线$l$上的投影点$P’(x’,y’)$的坐标.



解:如图1所示,将点$P$绕着原点旋转$-\alpha$角,得到点$Q(a,b)$.则有
$$
\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
$$
作点$Q$关于$x$轴的垂线,垂点为$Q’(m,n)$.则$Q’$的坐标易得为
$$
\begin{pmatrix}
m\\
n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
$$
将点$Q’$绕着原点旋转$\alpha$角,会得到$P’(x’,y’)$.$P’$即为点$P$在直线$l$上的投影点.
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x’\\
y’
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
m\\
n
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
-\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
\cos^2\alpha&\cos\alpha\sin\alpha\\
\cos\alpha\sin\alpha&\sin^2\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
\end{align*}
因此点$P’$的坐标为$(x\cos^2\alpha +y\cos\alpha\sin\alpha,x\cos\alpha\sin\alpha+y\sin^2\alpha)$.


评论1:易得映射$f:P\to P’$是一个从$\mathbf{R}^2$到${(x,y)|(x,y)\in l}$的线性映射.映射$g:(x,y)\to (x,0)$是一个从$\mathbf{R}^2$到${(x,0)|x\in\mathbf{R}}$的线性映射.从上面的推导过程可以看出,线性映射$f$和$g$是相似线性映射.


推论1:下面我们来推导点$P(x,y)$关于$l$的对称点$P’’(x’’,y’’)$的坐标.易得
$$
\overrightarrow{PP’}=\overrightarrow{P’P’’},
$$
也即,
$$
(x’,y’)-(x,y)=(x’’,y’’)-(x’,y’),
$$
也即,
\begin{align*}
(x’’,y’’)&=2(x’,y’)-(x,y)
\\&=2(x\cos^2\alpha
+y\cos\alpha\sin\alpha,x\cos\alpha\sin\alpha+y\sin^2\alpha)-(x,y)
\\&=(x\cos2\alpha+y\sin2\alpha,x\sin2\alpha-y\cos2\alpha).
\end{align*}
因此$P’’$的坐标为
$$
P’’(x\cos2\alpha+y\sin2\alpha,x\sin2\alpha-y\cos2\alpha).
$$
写成矩阵形式,即
$$
\begin{pmatrix}
x’’\\
y’’
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos2\alpha&\sin2\alpha\\
\sin2\alpha&-\cos2\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}.
$$