叶卢庆的博客

用Stolz-Cesàro定理证明L'Hospital法则

Stolz定理与L’Hospital法则在形式上十分接近,只不过前者针对离散情形,后者针对连续情形.在这篇博文里,我要证明,由前者借助于可微函数的一些性质,可以推出后者.

下面是$\frac{\infty}{\infty}$型的洛必达法则:

已知$\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$,而且$\lim_{n\to\infty}\frac {f’(x)}{g’(x)}=L$或者$\lim_{n\to\infty}\frac {f’(x)}{g’(x)}$是无限.而且存在正实数$K$,当$a>K$时,都有$g’(a)\neq 0$而且保证$f(a)$与$g(a)$的可导,则$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f’(x)}{g’(x)}$$

证明:当$\lim_{n\to\infty}\frac {f’(x)}{g’(x)}$有限时,在区间$(K,+\infty)$上取间隔为1的点:$x_1< x_2< x_3< \cdots$,这些点对应的函数值分别为$f(x_1),f(x_2),\cdots$和$g(x_1),g(x_2),\cdots$,因为$\lim_{n\to\infty}\frac{f’(x)}{g’(x)}=L$,即对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$M$,对于一切$x>M$都有\begin{equation}\label{eq:1}|\frac{f’(x)}{g’(x)}-L|<\varepsilon\end{equation}必定存在正整数$P$,使得$x_P,x_{P+1},x_{P+2},\cdots$都大于$M$.

现在要证的是:对于任意一个大于或等于$P$的正整数$N$,都有\begin{equation}\label{eq:2}|\frac{f(x_{N+1})-f(x_N)}{g(x_{N+1})-g(x_N)}-L|<\varepsilon\end{equation}这是因为根据柯西中值定理,必定有$t\in(x_N,x_{N+1})$,使得$$\frac{f’(t)}{g’(t)}=\frac{f(x_{N+1})-f(x_N)}{g(x_{N+1})-g(x_N)}$$再结合\eqref{eq:1}得证\eqref{eq:2}.可见,$$\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_{n+1})-f(x_n)}{g(x_{n+1})-g(x_n)}=L$$.由于当$a>K$时,$g’(a)\neq 0$,且$g’(a)$可导,根据导函数的介值性(达布定理),$g’(a)$恒大于0或者恒小于0.那么我们很容易得出数列$g(x_N),g(x_{N+1}),\cdots$是单调的,而且$\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$,那么我们现在就可以使用Stolz定理.由Stolz定理,$\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=L$.

其实证到这一步就可以推出$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L$了.因为我并没有规定$x_1,x_2,…$必须为整数,我只是规定它们的间隔必须为1而已,若存在给定的正实数$\Delta$,对于任意的正实数$K$都存在实数$m>K$,使得$|\frac{f(m)}{g(m)}-L|>\Delta$,那么我可以在距离$m$很近的地方设置一个$x_i$,因为易证$\frac{f(x)}{g(x)}$在$x$很大的时候肯定是一个连续函数,那么$\frac{f(m)}{g(m)}$与$\frac{f(x_i)}{g(x_i)}$也会很近,可以达到想多近就有多近的程度.这就与$|\frac{f(m)}{g(m)}-L|>\Delta$矛盾.

:$\frac{\infty}{\infty}$型的L’Hospital法则有鲜明的运动学意义.一个质点往无穷远方向运动,如果它的速度越来越趋于某个向量,则以原点为起始点,以质点位置为终点的向量与速度向量间的夹角也会趋于$0$.