叶卢庆的博客

Stolz-Cesàro定理

Stolz-Cesàro定理:递增数列$b_0,b_1,…,b_n,\cdots$与数列$a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots$其中$\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$而且$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$存在(有限或无穷),则$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$$

证明:把数列
$$a_0,a_1-a_0,a_2-a_1,a_3-a_2,…a_n-a_{n-1},\cdots$$
记为
$$x_0,x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots$$
把数列
$$b_0,b_1-b_0,b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots b_n-b_{n-1},\cdots$$
记为
$$y_0,y_1,y_2,y_3,…,y_n,\cdots$$
则定理可以改写为:

数列$x_0,x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots$与从第二项开始各项为正的数列$y_0,y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n,\cdots$,其中$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty y_i=\infty$,且$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$存在(有限或无限).则$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_0+x_1+…x_n}{y_0+y_1+…y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$$(这样子变换一下,Stolz定理是不是就显得更直观了呢?)

当$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$存在且有限时,设为$L$.则对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在正整数$N$,当$n\geq N$时都有$|\frac{x_n}{y_n}-L|<\varepsilon$.我们可以放心地把$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_0+x_1+…x_n}{y_0+y_1+…y_n}$$(不管该极限存在与否)改写成$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_N+x_{N+1}+…x_n}{y_N+y_{N+1}+…y_n}$$这是因为$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty y_i=\infty$,删去$\lim_{n\to\infty}\frac{x_0+x_1+…x_n}{y_0+y_1+…y_n}$中的$y_0,y_1,…y_{N-1}$与$x_0,x_1,…x_{N-1}$不会影响极限计算结果.下面我们看$$\frac{x_N+x_{N+1}+…+x_n}{y_N+y_{N+1}+…+y_n}$$的几何意义:

设$\overrightarrow{A_i}=(y_i,x_i)(i=N,N+1,…n)$,则$$\frac{x_N+x_{N+1}+…+x_n}{y_N+y_{N+1}+…+y_n}$$的几何意义是向量$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{A_2}+…+\overrightarrow{A_n}$所在直线的斜率.而且$\overrightarrow{A_i}=(y_i,x_i)(i=N,N+1,…n,y_i>0)$所在直线的斜率全都限制在区间$(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$内.

让我们想像一下直观图景:一个个斜率在区间$(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$内的向量扎成了一束马尾辫

图1

最上面的虚线代表斜率为$L+\varepsilon$的向量,最下面的虚线代表着斜率为$L-\varepsilon$的向量.下面看向量$\overrightarrow{B}$,$\overrightarrow{B}$的斜率我们采用数学归纳法(其实明眼人一眼就看得出来)易得仍在区间$(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$内.这样,我们就证完了斯笃兹定理当$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$为有限数时的情形.

对于$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$为无限数时的情形,也就是$L=\infty$时,其实那一束束直线是紧密围绕在$y$轴附近的,按照与以上一样的方法也可以很容易证明.$\Box$


注1:观察上面的证明,我们发现,其实如果我们把“递增数列$b_0,b_1,…,b_n,\cdots$”这个条件改为”递减数列$b_0,b_1,…,b_n,\cdots$”,则结论照样成立.