叶卢庆的博客

一道课后习题的向量解法

这是人教版高中数学必修2第4.2.3节(直线与圆的方程的应用)的课后练习4:

图1

等边$\triangle ABC$中,点$D,E$分别在边$BC,AC$上,且$|BD|=\frac{1}{3}|BC|$,$|CE|=\frac{1}{3}|CA|$,$AD,BE$交于点$P$.求证$AP\perp CP$.

解:设正三角形边长为$a$,且$\overrightarrow{BP}=\lambda_1\overrightarrow{BE}$,$\overrightarrow{AP}=\lambda_2\overrightarrow{AD}$.则
\begin{align*}
\overrightarrow{AP}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}
\\&=\overrightarrow{AB}+\lambda_1\overrightarrow{BE}
\\&=\overrightarrow{AB}+\lambda_1(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB})
\\&=\overrightarrow{AB}+\lambda_1(\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})
\\&=(1-\lambda_1)\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\lambda_1\overrightarrow{AC}.
\end{align*}
而且,
\begin{align*}
\overrightarrow{AP}&=\lambda_2\overrightarrow{AD}
\\&=\lambda_2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})
\\&=\lambda_2(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC})
\\&=\lambda_2[\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})]
\\&=\frac{2}{3}\lambda_2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\lambda_2\overrightarrow{AC}.
\end{align*}
可见,
$$
\overrightarrow{AP}=(1-\lambda_1)\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\lambda_1\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\lambda_2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\lambda_2\overrightarrow{AC}.
$$
于是,
$$
\begin{cases}
1-\lambda_1=\frac{2}{3}\lambda_2\\
\frac{2}{3}\lambda_1=\frac{1}{3}\lambda_2.
\end{cases}
$$
解得
$$
\lambda_1=\frac{3}{7},\lambda_2=\frac{6}{7}.
$$
因此
$$
\overrightarrow{AP}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}.
$$
$$
\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{7}\overrightarrow{AC}.
$$
于是,
\begin{align*}
\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CP}&=(\frac{4}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC})\cdot
(\frac{4}{7}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{7}\overrightarrow{AC})
\\&=\frac{16}{49}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}-\frac{20}{49}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\frac{8}{49}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\frac{10}{49}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}
\\&=\frac{16}{49}|\overrightarrow{AB}|^2-\frac{12}{49}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos
60^{\circ}-\frac{10}{49}|\overrightarrow{AC}|^2
\\&=\frac{16}{49}a^2-\frac{6}{49}a^2-\frac{10}{49}a^2
\\&=0.
\end{align*}
因此,向量$\overrightarrow{AP}$与向量$\overrightarrow{AC}$垂直,即$AP\perp CP$.