叶卢庆的博客

四个面都是直角三角形的三棱锥有两种

我们来解决下面的问题:

问题: 是否存在三棱锥,它的四个面都是直角三角形.若存在,请构造.若不存在,请证明.

存在.假设存在三棱锥$P-ABC$,它的四个面都是直角三角形,则我们进行分类讨论.分为以下情形.

图1

  • 当以三棱锥$P-ABC$的某个顶点为顶点的三个角都是直角时,由对称性,不妨设$P$是这个顶点,$\angle APB,\angle BPC,\angle CPA$都是直角.此时,$\triangle ABC$不可能是直角三角形.因为,由对称性,不妨假设$\angle ACB$是直角,由于
    $$
    \begin{cases}
    AP\perp BP\\
    AP\perp CP\\
    BP\cap CP=P
    \end{cases}\Rightarrow AP\perp\mbox{面}PBC\Rightarrow AP\perp BC
    $$
    再加上$BC\perp AC$,且$AP\cap AC=A$,因此会有$BC\perp\mbox{面}APC$,于是$BC\perp PC$.这样在同一个平面$PBC$上,过点$B$有两条直线$BP,BC$都垂直于$PC$,矛盾.这样我们就证明了$\triangle ABC$不是直角三角形.这样我们就排除了此种情形.

  • 当以三棱锥的某个顶点为顶点的三个角中有两个是直角,其余的一个不是,由对称性,不妨设以$P$为顶点的三个角中,两个角是直角,剩下的那个角不是直角.不妨设$\angle APB,\angle BPC$为直角,但$\angle CPA$不是直角.则$\angle PAC$或$\angle PCA$为直角.由对称性,不妨设$\angle PCA$为直角.此时,$\angle ACB$可能是直角.

图2

具体构造如图2所示.构造方法如下:首先,线段$AP$和$CP$形成平面$APC$,其中$A$和$P$是给定的点,点$C$还没定,但是面$APC$是给定的.然后过点$P$作直线$PB\perp\mbox{面}APC$,其中$B$是任意满足条件的点.再过点$B$作线段$AC$的垂线,把垂足规定为点$C$.再连接$CP$.这样就得到四个面都是直角三角形的三棱锥$P-ABC$,其中$\angle APB,\angle BPC,\angle ACB,\angle ACP$是直角.

下面我们继续来看,除了我们构造出来的外,是否还存在其它本质上形状不同的三棱锥满足条件.当$\angle PCA$为直角的时候,$\angle CAB$是否可能是直角呢?这是不可能的.因为若$\angle CAB$为直角.则
$$
\begin{cases}
BP\perp AP\\
BP\perp CP\\
AP\cap CP=P
\end{cases}\Rightarrow BP\perp\mbox{面}APC\Rightarrow BP\perp AC.
$$
$$
\begin{cases}
AC\perp AB\\
AC\perp BP\\
AB\cap BP=B
\end{cases}\Rightarrow AC\perp \mbox{面}APB\Rightarrow AC\perp AP.
$$
然而在同一个三角形$\triangle APC$中,$\angle PAC$和$\angle PCA$不可能都是直角.矛盾,可见,$\angle CAB$不可能是直角.

  • 当以三棱锥的任何一个顶点为顶点的三个角中只有一个角为直角时,则每个顶点都会被分配到一个直角.此时,共有两大类型.分别如图3和图4所示.在图3和图4中,凡是被标起来的角都是直角.~~图3的情形是可能的.具体构造如下:

图3

对于图3来说,令$AP=BC=a,BP=AC=b$,$AB=PC=\sqrt{a^2+b^2}$即可让$\angle APB=\angle PBC=\angle BCA=\angle PAC=90^{\circ}$.而且容易证明,一旦$\angle APB=\angle PBC=\angle BCA=\angle PAC=90^{\circ}$,就有$AP=BC,BP=AC,AB=PC$.~~

Update(2016.10.19)图3的情形是不可能的,具体见此文件第一题中的选项B.

图4

下面我们来考虑图4,这事实上是不可能的一种情形.因为如果可能,由直角三角形直角边小于斜边,就有
$$
AP< AB< BC< PC.
$$
然而$AP> PC$,矛盾.

这样我们就构造出了四个面都是直角三角形的三棱锥.共有两种本质上不同的情形,分别为图2和图3.