叶卢庆的博客

勾股定理

今天给学生上“平面直角坐标系上两个点的距离公式”的时候,给同学们推导了一次勾股定理.因为平面直角坐标系中两个点的距离公式
$$
|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
$$
是勾股定理在平面直角坐标系中的化身.勾股定理大家都知道,但是很多人忘了怎么证明.在知道怎么证明的人中,也有很多同学只知道“使用面积法证明”——也就是初中课本里那个出名的“赵爽弦图”.

然而我觉得仅仅知道可以用“赵爽弦图”来证明勾股定理是不够的.“赵爽弦图”精妙是精妙,然而也坏在它过于精妙,花哨的图形对数学的本质掩饰得太多.

下面我们来看一个更加质朴的证明.
图1

证明:如图1所示,是直角三角形$\triangle ABC$,$\angle C=90^{\circ}$.$BC=a,AC=b,AB=x$.我们只需要求出$AB$的长度$x$即可.过点$C$作$AB$的垂线,垂足为$D$.易得
$$
\triangle BCD\sim \triangle BAC,
$$
因此
$$
\frac{a}{x}=\frac{BD}{a}\Rightarrow BD=\frac{a^2}{x}.
$$
同理,$AD=\frac{b^2}{x}$.因此
$$
x=BD+AD=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{x}\Rightarrow x^2=a^2+b^2.
$$
勾股定理证毕.