叶卢庆的博客

开集连通当且仅当道路连通

我们约定,本文里的$\Omega$始终表示一个开集.

对于$\mathbf{R}^2$上的开集合$\Omega$来说,定义它是连通的,当且仅当$\Omega$不能表示为两个非空不相交开集合的并.

定义$\Omega$是道路连通的,当且仅当$\Omega$中任意两点都可以被一条含于$\Omega$的连续曲线所连接.

首先,我们注意,$\Omega$连通的定义里,“非空”这个条件的作用.如果没有“非空”这两个字,则任意一个开集合都会是不连通的.因此“非空”这两个字是必要的.

而且,开集合连通的定义本身是通过一个否定句来定义的,不太能捉摸得到.在这篇短文里,我们要证明如下定理.这个定理的作用就是给出了连通开集合的一个刻画.

$\mathbf{R}^2$上的开集合$\Omega$连通当且仅当$\Omega$道路连通.

个人角度来看,从道路连通推出连通要简单些.
道路连通$\Rightarrow$连通:假如开集合$\Omega$是道路连通的,然而它不是连通的,则
$$
\Omega=A\cup B,
$$
其中$A,B$是不相交的非空开集合.由于$A,B$非空,因此可以在集合$A$中选一个点$a$,在集合$B$中选一个点$b$.由于$\Omega$道路连通,因此存在$\Omega$内的一条连续曲线$l$,该曲线连接点$a$和点$b$.

也即,存在连续映射$f:[0,1]\to \Omega$,其中$f(0)=a,f(1)=b$.考虑集合$\alpha=\{p|f(p)\in A,p\in [0,1]\}$.由于$a$是非空开集$A$的内点,因此集合$\alpha$必有非零上确界,设该非零上确界为$q$.首先,$f(q)\not\in A$,这是因为如果$f(q)\in A$,由于$A$是开集合,$f(q)$会是$A$的内点,此时,必有比$q$大的数$q’\in \alpha$,这与$q$是$\alpha$的上确界矛盾.所以$f(q)\not\in A$,于是$f(q)\in B$.

然而,一旦$f(q)\in B$,由于$B$也是开集合,于是$f(q)$也是$B$的内点.这导致存在比$q$小的数$q’’$,使得$f(q’’)\in B$.然而又有$f(q’’)\in A$,这与$A\cap B=\emptyset$矛盾.

可见假设不成立,即$\Omega$是连通的.


连通$\Rightarrow$道路连通:任选开集$\Omega$中的一点$a_i$,定义$A_i$为包含点$a_i$的最大的道路连通集合,且$A_i\subset\Omega$.我们把$A_i$叫做$a_i$的对应集合.我们来证明$A_i$是开集.也就是证明对于$A_i$中的任意一点$\phi$,当该点邻域$\Phi$足够小时,整个邻域都将含于$A_i$.这是因为,首先,由于$\Omega$是开集,因此当$\Phi$足够小时,整个$\Phi$都将含于$\Omega$.由于存在$\Omega$里的连续曲线连接点$\phi$和点$a_i$,而且易得存在$\Omega$里的连续曲线,连接点$\phi$和邻域$\Phi$里的任意一点,因此存在连续曲线,连接$a_i$和邻域$\Phi$内的任意一点.由于$A_i$是包含$a_i$的尽量大的道路连通集合,因此表明整个邻域$\Phi$会含于$A_i$.因此$A_i$是开集.

我们只用证明,任意非道路连通的开集都不是连通的开集即可.当$\Omega$非道路连通时,意味着存在$a_{1},a_{2}\in \Omega$,不存在$\Omega$内的连续曲线连接$a_1,a_2$.此时必有非空开集$A_1$与非空开集$A_2$不相交.

必定存在有限或无限个$\Omega$中的点形成的最大的集合$Q$,集合$Q$中的任意两点$x$和$y$之间不存在$\Omega$中的连续曲线将它们连接.集合$Q$中每个点都可以对应一个集合,所有这些集合都是开集,且两两不相交,且所有这些集合的并是$\Omega$.

由于任意两个开集合的并仍然是开集合,因此由上面的结论易得$\Omega$能表达为两个互不相交的非空开集合的并.因此$\Omega$非连通.这样就完成了证明.