叶卢庆的博客

利用旋转变换解一道平面几何题

今天在操场上,程俊超老师邀请我做到一道有趣的平面几何题.如下:

如图1.在$\triangle OAB$,$\triangle OCD$中,$OA=OB,OC=OD$,$\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$,连$AC,BD$.若将$\triangle OCD$绕$O$旋转,求证$OM=\frac{1}{2}AD$和$OM\perp AD$始终成立.

图1


图2
证:如图2所示.延长$OM$至点$O’$,使得$O’M=OM$.连接$CO’,BO’$.在$OB$的延长线上任取一点$E$.先证$\triangle OBO’\cong \triangle AOD$.首先,易得四边形$OCO’B$是平行四边形,因此$BO’=OC=OD$.且由题目条件,$OB=AO$.下证$\angle OBO’=\angle AOD$.这是因为
$$
\angle AOD=\angle AOB+\angle COD-\angle COB=180^{\circ}-\angle COB=180^{\circ}-\angle O’BE=\angle OBO’.
$$
于是
$$
\begin{cases}
BO’=OD\\
\angle AOD=\angle OBO’\\
OB=AO
\end{cases}\Rightarrow \triangle OBO’\cong \triangle AOD\mbox{(两边夹角判三角形全等)}.
$$
因此有$AD=OO’=2OM$.

下面我们来证明$OM\perp AD$.也就是证明$OO’\perp AD$.易得$OD\perp BO’$,这是因为$BO’\parallel OC$,而$OC\perp OD$.由于$\triangle OBO’\cong \triangle AOD$,且$AO\perp OB$,$OD\perp BO’$,这说明$\triangle AOD$是由$\triangle OBO’$先以$B$为中心顺时针旋转$90^{\circ}$,再往沿着$BO$平移$BO$的长度而得到的,此时自然有$OO’\perp AD$.对于$\triangle OCD$在其它位置的情形,可以进行完全类似的讨论.$\Box$.