叶卢庆的博客

有限覆盖定理

我们定义一个度量空间 $(X,d)$ 是紧致的,当且仅当 $(X,d)$ 中的每个序列都有收敛子列.度量空间 $X$ 的子集合 $Y$ 是紧致的,当且仅当子空间 $(Y,d_{Y\times Y})$ 是紧致的. 则我们有如下的度量空间中的有限覆盖定理.如果从实数的几个等价命题的互推的角度来看,下面的定理的证明其实是根据聚点原理证明有限覆盖定理.

有限覆盖定理:设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $Y$ 是 $X$ 的紧致子集合.设$(V_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 的一族开集,并设 $$ Y\subseteq \bigcup_{\alpha\in I}V_{\alpha}, $$ 那么存在 $I$ 的有限子集 $F$ 使得 $$ Y\subseteq \bigcup_{\alpha\in F}V_{\alpha}. $$


证明:当 $I$ 是有限集合时,命题显然成立.因此我们只考虑 $I$ 是无限集合时的情形. 假设不存在 $I$ 的有限子集 $F$ 使得 $\bigcup_{\alpha\in F}V_{\alpha}$ 覆盖 $Y$,则总可以做到如下:让 $X$ 中的一部分无限个不同元素位于不同的开集中,即存在集合 $A$,其中 $A$ 是 $X$的可数子集, $\forall x,y\in A,x\neq y$,覆盖 $x$ 的开集和覆盖 $y$的开集是不同开集.(这总是能办到的,为什么?提示:这是根据假设而得的结论.同时注意这里要用到选择公理).然而 $A$ 中的可数无限个不同元素形成的序列有收敛子列,设该收敛子列收敛到 $Y$ 中的元素 $a$,由于 $a$ 也被一个开集覆盖,从此可以推出这个序列中有无限个元素位于同一个开集中,这与集合$A$的特性矛盾.可见假设错误,即命题成立.


注1:分析上面的证明,我们会看到,”$(V_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 覆盖 $Y$ “ 这个条件是很重要的,否则收敛子列所收敛到的元素可能不会含于 $\bigcup_{\alpha\in I}V_{\alpha}$,这样论证就无法继续下去了.


上面命题的逆命题也成立:

设 $(X,d)$ 具有性质:$X$ 的每个开覆盖都具有有限的子覆盖,则 $X$ 是紧致的.

证明:假如 $X$ 不是紧致的,则 $X$ 中存在一个序列$S$,该序列没有极限点.也即,存在正实数$\varepsilon$,对于该序列中的任意两个不同元素$x,y$来说,$d(x,y)\geq\varepsilon$.将该序列的每个元素都用这个元素的$\frac{\varepsilon}{2}$邻域覆盖.然后,让$X$中不是序列$S$的任意一个元素$p$也被相应开集$P$覆盖,开集$P$不能覆盖$S$中的元素,这是可以做到的.这样我们就构造了$X$的开覆盖,显然该开覆盖没有有限子覆盖.因此假设错误.于是$X$是紧的.


参考文献:《陶哲轩实分析》定理12.5.8.