叶卢庆的博客

答福建厦门陈玉重:为什么一个数列没有简单的求和公式

福建厦门陈玉重在中国数学解题研究会的QQ群(47224687)中问道,可否给出数列$\{\frac{4n}{(2n-1)(2n+1)}\}$前$n$项和简单的封闭表达式.下面我们尝试用Abel分部求和方法表明无法给出该数列前$n$项和的简单封闭表达式.我们只需要求和
$$
S=\frac{1}{2^2-1}+\frac{2}{4^2-1}+\cdots+\frac{n}{(2n)^2-1}
$$
即可.由Abel分部求和公式,
\begin{align*}
S&=\sum_{i=1}^n \frac{i}{(2i)^2-1}
\\&=n\left(\sum_{i=1}^n
\frac{1}{(2i)^2-1}\right)-\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sum_{i=1}^{k}
\frac{1}{(2i)^2-1}\right)
\\&=\frac{n^2}{2n+1}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2k+1}
\\&=\frac{n^2}{2n+1}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)
\\&=\frac{n+1}{4n+2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+1}
\end{align*}
因此$\{\frac{4n}{(2n-1)(2n+1)}\}$的前$n$项和为$4S$,即为
$$
1+\frac{1}{2n+1}+2\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+1}.
$$
这是没有简单封闭表达式的.