叶卢庆的博客

三角函数和差角公式之天下最本质证法

在此,我们给出三角函数和差角公式的天底下最本质的证法.这种证明基于线性代数中的坐标变换.不过大家不必担心,我会把这种证法写成高中生能看懂的方式.

我们要证明的是差角公式
\begin{equation}\label{eq:1}
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.
\end{equation}
其中$\alpha,\beta$是任意角.将差角公式中的$\beta$用$-\beta$替换,即可得和角公式.为了证明公式\eqref{eq:1},我们来看平面直角坐标系.

如图1,平面直角坐标系上有点$E_1(1,0)$和$E_2(0,1)$.我们在平面直角坐标系上给定点$A(\cos\alpha,\sin\alpha)$,这些点都在单位圆上.将向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE_1},\overrightarrow{OE_2}$同时绕着点$O$旋转角$-\beta$,则向量$\overrightarrow{OA}$会变成向量$\overrightarrow{OA’}=(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta))$,向量$\overrightarrow{OE_1}$会变成向量$\overrightarrow{OE_1’}=(\cos-\beta,\sin-\beta)=(\cos\beta,-\sin\beta)$,向量$\overrightarrow{OE_2}$会变成向量$\overrightarrow{OE_2’}=(\cos(-\beta+\frac{\pi}{2}),\sin(-\beta+\frac{\pi}{2}))=(\sin\beta,\cos\beta)$.下面我们给出向量$\overrightarrow{OA’}$的另外一种表达式.

我们知道,
\begin{equation}\label{eq:2}
\overrightarrow{OA}=\cos\alpha\overrightarrow{OE_1}+\sin\alpha\overrightarrow{OE_2},
\end{equation}
易得关系式\eqref{eq:2}在旋转下不变,即我们也有
\begin{align*}
(\cos(\alpha-\beta,\sin(\alpha-\beta))&=\overrightarrow{OA’}\\&=\cos\alpha\overrightarrow{OE_1’}+\sin\alpha\overrightarrow{OE_2’}
\\&=\cos\alpha(\cos\beta,-\sin\beta)+\sin\alpha(\sin\beta,\cos\beta)
\\&=(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta).
\end{align*}
这样我们就证明了\eqref{eq:1}中的两条公式成立.