叶卢庆的博客

人教版高中数学必修4网络视频:弧度制

讲义

上一讲,我们介绍了任意角.在那节课,衡量角大小的单位是度,比如$30^{\circ}$,$-30^{\circ}$等.这种衡量角度的方式叫做角度制.在角度制里,一个点沿着圆周逆时针运动一周,扫过的角度是圆周角$360^{\circ}$.然而,角度制对于角的度量来说,并非本质的.$360$这个数字,跟圆周没有任何关系.圆周角为$360^{\circ}$这个定义,纯属人为.

在高等数学里,我们更经常用到的是另外一种度量角的方式,叫做弧度制.对于角的度量来说,弧度制是比角度制更为本质的一种体系.它不仅不涉及到一些纯属人为规定的诸如$360$这些数字,而且一些高等数学里的公式,在使用角度制的时候,往往显得很繁琐,而使用了弧度制后,却显得简洁.在本讲介绍完弧度制后,我们以后要更经常地使用弧度制来描述一个角,而不是用角度制来描述.因此希望大家能习惯它.

弧度制的本质,是用圆弧来度量角.如图1所示,是一个单位圆(即半径为$1$的圆).点$M$从单位圆上的点$Q$出发,逆时针旋转了一个角$\alpha$.则规定点$M$经过的弧长为角$\alpha$的弧度.比如,当点$M$逆时针经过了一个直角后,经过的弧长为$\frac{2\pi\times 1}{4}=\frac{\pi}{2}$,因此直角的弧度为$\frac{\pi}{2}$ rad.其中rad是英文单词radian的前三个字母,我们常常将其略写.再比如,当点$M$逆时针经过了一个平角后,经过的弧长为$\frac{2\pi\times 1}{2}=\pi$,因此平角的弧度为$\pi$.当$M$逆时针经过了一个周角之后,经过的弧长为$2\pi$,因此周角的弧度为$2\pi$.

图1

当点$M$顺时针旋转时,我们规定点$M$扫过的角的弧度为负.这与我们在上一节课《任意角》中的规定类似.比如,当点$M$顺时针扫过$\frac{1}{4}$圆周,则点$M$扫过的角的弧度为$-\frac{\pi}{2}$.当点$M$顺时针扫过$n$个圆周,则点$M$扫过的角的弧度为$-2\pi n$.

易得不同的角对应不同的弧度,不同的弧度对应不同的角.即角和弧度之间存在一个双射.

下面我们要解决的问题是,如果我们面对的圆不是单位圆,则我们怎么确定角的弧度.如图2所示,是平面直角坐标系上圆心位于原点的两个同心圆.较小的圆的半径为$r$,较大的圆的半径为$r’$.两个圆与$x$轴的正半轴分别交于点$Q,Q’$.点$M’$从$Q’$出发,沿着圆周运动,形成一条弧$Q’M’$.连接点$OM’$,交小圆于点$M$.则在点$M’$沿着大圆运动的过程里,点$M$也在沿着小圆相应地运动.最后点$M$运动也形成一条弧$QM$.易得
$$
\frac{\mbox{弧}Q’M’\mbox{的长度}}{\mbox{弧}QM\mbox{的长度}}=\frac{r’}{r}.
$$
由此可见,如果一个圆的半径为$v$,则此圆上的点逆时针走过弧长$l$时,点扫过的角,和点在单位圆上逆时针走过弧长为$\frac{l}{r’}$时扫过的角相等.即此时圆上的点扫过的角的弧度为$\frac{l}{r’}$.反之,圆上的点顺时针走过弧长为$l$时,点扫过的角的弧度为$\frac{-l}{r’}$.
图2