叶卢庆的博客

人教版高中数学必修4网络视频:任意角

我在网络上上传了自己针对人教版高中数学必修4的讲课视频,这是第一节课,内容是必修4的第1.1.1节,任意角.并顺便在这里附上讲义.

讲义

在小学和初中的时候,我们学过介于$0^{\circ}$和$360^{\circ}$之间的角.在此,我们要推广角的概念,定义任意范围的角,比如$720^{\circ}$,$1200^{\circ}$,$-50^{\circ}$,$-1800^{\circ}$的角.
图1
如图1所示,是一个圆.点$O$是圆的中心.点$M$从起点$Q$出发,沿着圆周运动.点$O$和起点$Q$之间形成一条线段$OQ$,点$O$和点$M$之间形成一条线段$OM$.$OQ$和$OM$之间形成角$\alpha$,这是点$M$运动而形成的角度.我们把$OQ$叫做角$\alpha$的始边,把$OM$叫做角$\alpha$的终边.我们先考察点$M$的逆时针运动.


点的逆时针运动:在这个例子里,我们规定点$M$进行以$Q$为起点的逆时针运动.

  • 在点$M$跑第$1$圈的时候,随着时间的流逝,角度$\alpha$会怎么变化?

答:在点刚开始运动的瞬间,线段$OM$和$OS$重合,$\alpha=0^{\circ}$,是一个零角.随后$\alpha$会是一个大于$0^{\circ}$,小于$90^{\circ}$的锐角.在点跑完$\frac{1}{4}$圆的瞬间,$\alpha=90^{\circ}$,是一个直角.随后$\alpha$会是一个大于$90^{\circ}$,小于$180^{\circ}$的钝角.在点刚跑完一半圆周的瞬间,$\alpha=180^{\circ}$是一个平角.随后,$\alpha$会是一个大于$180^{\circ}$,小于$270^{\circ}$的角.在点跑完$\frac{3}{4}$圆周的瞬间,$\alpha=270^{\circ}$.随后$\alpha$会是一个大于$270^{\circ}$小于$360^{\circ}$的角.在点刚跑完$1$圈的时候,$\alpha=360^{\circ}$是一个圆周角,此时线段$OM$和$OS$又会重合.

  • 在点刚跑完第$1$圈的瞬间,$\alpha=360^{\circ}$,这个时候点又回到了起点.接下来点$M$会开始跑第$2$圈.点在第二圈又逆时针运动了$30^{\circ}$.此时我们能说点运动了$30^{\circ}$吗?即使要说,我们也应该说点在\textbf{第2圈}运动了$30^{\circ}$.为了和点$M$在跑第$1$圈时的$30^{\circ}$区分开来,以及为了方便进行角度的相加运算,我们规定此时点总共运行了$360^{\circ}+30^{\circ}=390^{\circ}$.即此时$\alpha=390^{\circ}$.

  • 当点在第$2$圈分别依次运行了$60^{\circ},90^{\circ},120^{\circ},270^{\circ}$时,按照上面的规定,我们应该说点共运行了多少度?

答:$360^{\circ}+60^{\circ}=420^{\circ}$,$360^{\circ}+90^{\circ}=450^{\circ}$,$360^{\circ}+120^{\circ}=480^{\circ}$,$360^{\circ}+270^{\circ}=630^{\circ}$.

  • 当点在第$n$圈运行了$k$度角,你认为点总共应该运行了多少度?

答:$360^{\circ}n+k^{\circ}$.

  • 当点运行了$2350^{\circ}$时,请问这个点正在跑第几圈?它在这一圈跑了多少度?

答:因为$$2350=360\times 6+190,$$所以这个点正在跑第$6$圈,在第$6$圈它已经跑了$190^{\circ}$.


下面我们来看点的顺时针运动.

点的顺时针运动:本案例的背景承接案例$1$.从案例$1$我们知道,当点逆时针运动的时候,点运动形成的角$\alpha$是不断地连续地增大的.那么相反地,规定当点顺时针运动的时候,让$\alpha$连续不断地减小.比如,当点$M$从起点$Q$出发,顺时针运动$30^{\circ}$时,记点$M$运动了$-30^{\circ}$,即此时$\alpha=-30^{\circ}$.这里的负号代表方向,表明点在顺时针运动.一般地,如果点顺时针运动了$n$圈,并且正在跑第$n$圈的第$k$度(由于点在顺时针运动,这里的$k$为负数),则点共运行了$\alpha=-360^{\circ}n+k^{\circ}$.


现在,我们把圆放进平面直角坐标系,其中圆心$O$成为坐标原点.当点$M$运行到第一象限时,终边$OM$也在第一象限.此时我们说点$M$运动形成的角$\alpha$是第一象限角,其余象限类推.当点$M$运行到坐标轴上时,终边$OM$也位于坐标轴.


习题1:角$830^{\circ}$是第几象限角?角$-830^{\circ}$是第几象限角?

答:$$830=360\times 2+110,$$这意味着$830^{\circ}$角的终边和$110^{\circ}$角的终边是重合的.由于$110^{\circ}$角是第二象限角,因此$830^{\circ}$也是第二象限角.$$-830=360\times (-2)+(-110),$$由于$-110^{\circ}$是第三象限角,因此$-830^{\circ}$是第三象限角.


习题2:写出终边位于终边位于直线$y=\sqrt{3}x$上的所有角形成的集合.

答: $$ \{60^{\circ}+180^{\circ}n|n\in \mathbf{Z}\}.$$