叶卢庆的博客

王垠的一个论据错误

王垠写了一篇博文《数学与编程》,其中他对数学语言进行了吐槽.我们知道王垠的文字向来是观点鲜明的文字.对于这样的文字,如果存心要批评,是可以写出很多话的.然而我向来不喜欢写太多文字和别人争,因为那纯属浪费时间.

我只是否定他在文章里使用的一个论据.他说,

举一个非常简单的例子。如果你说$x^{-1}$表示x的-1次方(x的倒数),那么$f^{-1}$表示什么?f的-1次方,f的倒数?别被数学老师们的教条和借口欺骗啦,他们总是告诉你:“你应该记住这些!” 可是你想过吗:“凭什么!” $x^{-1}$表示x的-1次方,而$f^{-1}$,明明是一模一样的形式,表示的却是函数f的反函数。一个是求幂,一个是反函数,风马不及,却写成一个样子。这样的语言设计混淆不堪,却喜欢以“约定俗成”作为借口。

然而,$x^{-1}$和$f^{-1}$真的是风马牛不相及吗?我们只用看如下相同之处.当$x$是非零实数时,对于任意实数$a$,有
\begin{equation}\label{eq:1}
x^{-1}\times (x\times a)=(x^{-1}\times x)\times a=1\times a=a.
\end{equation}
以及当$f$是可逆函数时,对于定义域中的任意元素$a$,都有
\begin{equation}\label{eq:2}
f^{-1}(f(a))=(f^{-1}\circ f)(a)=I(a)=a,
\end{equation}
其中$I$是恒等映射.方程\eqref{eq:1}表示,任意一个实数$a$,它乘以$x$后,再乘以$x$的乘法逆——$x^{-1}$,就会变回自身.方程\eqref{eq:2}表示,定义域中的任意一个元素$a$,它经过函数$f$的作用后,再经过$f$的反函数$f^{-1}$的作用,就会变回自身.

你看,$x^{-1}$和$f^{-1}$在此的作用是多么类似!前者把一个数乘以$x$的作用给抵消了,后者把一个元素经过函数$f$映射的作用给抵消了.无论是谁,都体现了“逆”的本质.王垠之所以觉得两者无关,可能是他把$x,x^{-1}$看作一个静止的对象了,其实要把$x,x^{-1}$跟一个数乘起来,才能看出其与$f,f^{-1}$的类似之处.或者是,王垠没有意识到反函数的作用效果其实就是把函数的作用效应给抵消掉.