叶卢庆的博客

双曲函数与双曲线下的面积

双曲函数的几何意义

如图1所示.点$P$是双曲线$u^2-v^2=1$上的点,且位于$u$轴上方.在$uv$坐标系下,点$M$的坐标为$(1,0)$.如果曲边三角形$OPM$(红色区域)的面积为$\frac{x}{2}$,则众所周知,点$P$的坐标为
$$
(\cosh x,\sinh x):=(\frac{e^x+e^{-x}}{2},\frac{e^x-e^{-x}}{2}).
$$
图1
下面我们使用一种比较不常规的方法来证明这一点.这种方法来自Analysis by Its History习题4.3.过点$P$作直线$v=-u$的垂线,垂足为$P’$.过点$M$作直线$v=-u$的垂线,垂足为$M’$.易得无论$P$在何处,三角形$\triangle OPP’$的面积始终不变,始终为$\triangle OMM’$的面积$\frac{1}{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4}$.这是因为双曲线$u^2-v^2=1$在$xy$坐标系下的方程为$y=\frac{1}{2x}$,其中$x$轴和$y$轴是双曲线的渐近线,$x$轴和$y$轴的正方向如图1所示.因此
$$
\frac{x}{2}=\mbox{曲边三角形}OPM\mbox{的面积}=\mbox{曲边梯形}PP’M’M\mbox{的面
积}+\mbox{三角形}OPP’\mbox{的面积}-\mbox{三角形}OMM’\mbox{的面
积}=\mbox{曲边梯形}PP’M’M\mbox{的面积}.
$$
设点$P$在$xy$坐标系下的坐标为$(x_p,y_p)$,则
$$
\int_{x_p}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{2x}dx=\frac{x}{2},
$$
解得$x_p=\frac{1}{\sqrt{2}e^{x}}$.因此$y_p=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{x}$.因此由坐标变换,点$P$在$uv$坐标系下的坐标应该为
$$
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_p\\
y_{p}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\
\frac{e^x-e^{-x}}{2}
\end{pmatrix}.
$$

双曲正弦函数和差角公式的几何解释

我们来解释为什么有公式
\begin{equation}
\label{eq:1}
\sinh (x+y)=\sin hx\cosh y+\cosh x\sinh y.
\end{equation}
式\eqref{eq:1}经过简单的代数验证便可证明.然而这样的验证未免浅薄.我们试图发掘式\eqref{eq:1}更深层的含义.式\eqref{eq:1}等价于
\begin{equation}
\label{eq:2}
\sinh (x-y)=
\begin{vmatrix}
\cosh y&\sinh y\\
\cosh x&\sinh x
\end{vmatrix}.
\end{equation}
我们试图给出式\eqref{eq:2}的几何意义.如图2所示.
图2
由双曲正弦和双曲余弦函数的奇偶性可知,我们只用考虑当$x\geq y\geq 0$时的情形.此时式\eqref{eq:2}的右边的行列式代表了三角形$\triangle OPQ$面积的两倍,其中$P$的坐标为$(\cosh y,\sinh y)$,$Q$的坐标为$(\cosh x,\sinh x)$.而$\triangle OPQ$的面积等于梯形$QQ’P’P$的面积.因此我们只用表明$\sinh(x-y)$等于梯形$QQ’P’P$的面积两倍即可.

$Q’$在$xy$坐标系中的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-x},0)$,$P’$在$xy$坐标系中的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-y},0)$.在双曲线上取一点$T$,过$T$作直线$v=-u$的垂线,垂足为$T’$,且$T’$位于线段$OM’$上.为了使得梯形$TT’M’M$的面积与梯形$QQ’P’P$的面积相等,点$T’$的在$xy$坐标系中的坐标必须为$(\frac{|OQ’|}{|OP’|}\cdot |OM’|,0)=(\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-(x-y)},0)$.此时点$T$在$xy$坐标系中的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-(x-y)},\frac{\sqrt{2}}{2}e^{(x-y)})$.通过坐标变换可得$T$在$uv$坐标系中的纵坐标为$\frac{e^{x-y}-e^{-(x-y)}}{2}=\sinh (x-y)$.此时,三角形$\triangle OTM$的面积等于梯形$TT’M’M$的面积,即等于梯形$QQ’P’P$的面积,即等于三角形$\triangle QOP$的面积,为$\begin{vmatrix} \cosh y&\sinh y\\ \cosh x&\sinh x\end{vmatrix}$,而三角形$\triangle OTM$的面积易得也为$\frac{1}{2}\sinh (x-y)$(根据底乘以高,再除以2的面积公式).因此有式\eqref{eq:2}成立.