叶卢庆的博客

行列式与三角函数的和差角公式

我们知道,三角函数的差角公式是
$$
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.
$$
它又可写成
\begin{equation}\label{eq:1}
\sin(\alpha-\beta)=
\begin{vmatrix}
\cos\beta&\cos\alpha\\
\sin\beta&\sin\alpha
\end{vmatrix}.
\end{equation}
由于二阶行列式有其几何意义(平行四边形的有向面积),这提示我们,可以给出三角函数差角公式的有向面积证明.

根据三角函数的周期性,不妨设$\alpha,\beta\in [\beta,\beta+2\pi)$.如果$\alpha\in [\beta,\beta+\pi)$,则情形如图1.此时,以固定向量$(\cos\beta,\sin\beta)$,$(\cos\alpha,\sin\alpha)$为边的平行四边形$OBCA$的正面积为$\det ((\cos\beta,\sin\beta),(\cos\alpha,\sin\alpha))$,即为行列式$\begin{vmatrix}
\cos\beta&\cos\alpha\\
\sin\beta&\sin\alpha
\end{vmatrix}.
$
图1
从另外一个角度看,该平行四边形的面积也可以表达为$\sin(\alpha-\beta)$.因此有式\eqref{eq:1}成立.

如果$\alpha\in [\beta+\pi,\beta+2\pi)$,则情形如图2.此时,以固定向量$(\cos\alpha,\sin\alpha)$,$(\cos\beta,\sin\beta)$为边的平行四边形$OACB$的正面积为$\det ((\cos\alpha,\sin\alpha),(\cos\beta,\sin\beta))$,即为行列式$\begin{vmatrix}
\cos\alpha&\cos\beta\\
\sin\alpha&\sin\beta
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
\cos\beta&\cos\alpha\\
\sin\beta&\sin\alpha
\end{vmatrix}.
$从另外一个角度看,该平行四边形的面积也可以表达为$\sin(2\pi-(\alpha-\beta))=-\sin(\alpha-\beta)$.因此照样有式\eqref{eq:1}成立.
图2


注:将差角公式中的$\beta$用$-\beta$替换即可得和角公式.