叶卢庆的博客

不等式$(1+\frac{1}{n})^{n}<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$的几何解释

我们在文章用积分证明极限$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$存在里,构造了积分模型来证明极限$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$存在.现在,我们利用同样的积分模型,来证明数列$\{(1+\frac{1}{n})^n\}$单调递增.

图1

如图1所示,是个平面直角坐标系.在坐标平面上构造 $n$ 个紧邻的矩形.每个矩形的底边位于 $x$ 轴上.每个矩形的左上角顶点位于曲线 $y=\frac{1}{x}$ 上.且每个矩形的面积都相同,为 $\frac{1}{n}$.所有矩形的面积和为 $1$. 矩形 $1$ 的左下角顶点 $A_0$ 的横坐标为 $1$. 则为了使得每个矩形的面积都为 $\frac{1}{n}$, 经由归纳法可得, 对于一切 $0\leq i\leq n-1$, 矩形 $i+1$ 的左下角顶点 $A_i$ 的横坐标为 $(1+\frac{1}{n})^i$.且为了使得矩形 $n$ 的面积为 $\frac{1}{n}$, 点 $A_n$ 的横坐标必须为$(1+\frac{1}{n})^n$.

不仅任意两个矩形的面积相同,而且任意两个矩形被曲线$y=\frac{1}{x}$所截而得到的两个曲边梯形的面积也相同.这是因为$\forall 0\leq i\leq n-1$,通过变量替换易得
$$
\int_{(1+\frac{1}{n})^i}^{(1+\frac{1}{n})^{i+1}}\frac{1}{x}dx=\int_{(1+\frac{1}{n})^{i+1}}^{(1+\frac{1}{n})^{i+2}}\frac{1}{x}dx.
$$
我们来比较当矩形有$n$个时,矩形$1$被曲线$y=\frac{1}{x}$所截而得到的曲边梯形的面积和当矩形有$n+1$个时,矩形$1$被曲线$y=\frac{1}{x}$所截而得到的曲边提醒的面积之间的关系.把前者记为$S_n$,后者记为$S_{n+1}$.可得
$$
S_n=\int_1^{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{x}dx,S_{n+1}=\int_1^{1+\frac{1}{n+1}}\frac{1}{x}dx.
$$
我们来证明,
\begin{equation}\label{eq:1}
S_{n+1}>\frac{n}{n+1}S_n.
\end{equation}
图2
我们从几何上考虑,来证明这一点.如图2所示.曲边梯形$PQBA_0$的面积为$S_1$,曲边梯形$QRCB$的面积为$S_2$.则我们只要证明
\begin{equation}\label{eq:2}
\frac{S_1}{S_2}>\frac{|A_0B|}{|BC|}
\end{equation}
便可立得不等式\eqref{eq:1}.为了证明不等式\eqref{eq:2},连接$RQ$,并延长,交$PA_0$于$W$.由于曲线$y=\frac{1}{x}$以$P,Q$为端点的部分都位于线段$WQ$的上方,曲线$y=\frac{1}{x}$以$Q,R$为端点的部分都位于线段$QR$的下方,因此$S_1$大于梯形$WQBA_0$的面积$K_1$,$S_2$小于梯形$QRCB$的面积$K_{2}$.为了证明\eqref{eq:2},我们只用证明
\begin{equation}\label{eq:3}
\frac{K_1}{K_2}>\frac{|A_0B|}{|BC|}
\end{equation}
即可.不等式\eqref{eq:3}等价于
\begin{equation}
\label{eq:4}
\frac{\mbox{矩形}VQBA_0\mbox{的面积}+\mbox{三角形}WQV\mbox{的面积}}{\mbox{矩形}QUCB\mbox{的面积}-\mbox{三角形}QUR\mbox{的面积}}>\frac{|A_0B|}{|BC|}=\frac{\mbox{矩形}VQBA_0\mbox{的面积}}{\mbox{矩形}QUCB\mbox{的面积}}.
\end{equation}
关系式\eqref{eq:4}成立是显然的.这样我们就证明了不等式\eqref{eq:1}成立.因此就有
$$
(n+1)S_{n+1}>nS_n.
$$
这表明,点$A_{n+1}$的横坐标要大于点$A_n$的横坐标.因此
$$
(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}>(1+\frac{1}{n})^n.
$$