叶卢庆的博客

第35届IMO第2题解答

下面我们来做第35届IMO第二题,这是一道平面几何题.

题目:$\triangle ABC$是一个等腰三角形,$AB=AC$.$M$是$BC$的中点,$O$是直线$AM$上的点,且$OB$垂直于$AB$.$Q$是线段$BC$上不同于$B$和$C$的任意一个点.$E$在直线$AB$上,$F$在直线$AC$上,$E,Q,F$两两不重合且$E,Q,F$三点共线.求证$OQ$垂直于$EF$当且仅当$QE=QF$.


证明:我们画出如图1所示的示意图.
图1
当$OQ$垂直于$EF$时,如图2所示.
图2
则点$B,E,Q,O$四点共圆,点$O,Q,C,F$也共圆.因此$\angle OEQ=\angle =\angle OBQ=\angle OCQ=\angle OFQ$.可见$\triangle OEQ$与$\triangle OFQ$全等.因此$EQ=FQ$.

当$EQ=FQ$时,我们只用证明$OE=OF$便可证明$\angle OQE=\angle OQF=90^{\circ}$.为此只用证明$\triangle OBE$与$\triangle OCF$全等即可.为此只用证明$BE=CF$.过点$F$作$AB$的平行线,并且延长$BC$,两线交于$D$.由于$EQ=FQ$,因此易得$\triangle QEB$与$\triangle QFD$全等,因此$BE=DF$.因此我们只用证明$CF=DF$即可.为此只用证明$\angle FCD=\angle FDC$.而这是显然的.
图3