叶卢庆的博客

四次方程的一种解法

下面我们给出四次方程\begin{equation}
\label{eq:1}
x^4+Bx^2+Cx+D=0
\end{equation}
的一种解法.这种解法来自Euler的Opera Omnia,是我在 E.Hairer 与G.Wanner 所著之Analysis by Its History习题1.3上看到的.

由代数基本定理,方程\eqref{eq:1}必有四个根(重根按重数计算)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$.因此
$$
x^4+Bx^2+Cx+D=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4).
$$且不妨设复数$\alpha_1,\alpha_2$共轭,$\alpha_3,\alpha_4$共轭.则$(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$是一个实系数的二次多项式 $x^2+ux+a$,$(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$是一个实系数的二次多项式$x^2+vx+b$.因此
$$
x^4+Bx^2+Cx+D=(x^2+ux+a)(x^2+vx+b).
$$
于是,
$$
\begin{cases}
u=-v\\
a+b+uv=B\\
ub+va=C\\
ab=D
\end{cases}
$$
解得
$$
u^2[(u^2+B)^{2}-4D]=C^2.
$$
这样就得到了关于$u^2$的一个三次方程,而三次方程的解法已知,因此$u$能算出,进一步能算出$v$和$a,b$.这样就把解四次方程问题划归为解两个二次方程的问题.