叶卢庆的博客

利用函数凹凸性证明一个不等式

下面我们来证明这个不等式,来自叶立军《初等数学研究》例2.5.4.5.

题目:已知$a,b,c\in \mathbf{R}^+$,且$a+b+c=1$,求证
$$
(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\geq \frac{100}{3}.
$$


我们先证明$f(x)=(x+\frac{1}{x})^2$在区域$(0,1)$上是下凸函数.为此只用考察其二阶导数.我们先证明一个引理.

引理:若非负函数$p(x)$在定义域上二阶可导且是下凸函数,则$p^2(x)$也是定义域上的下凸函数.

引理证明:$p(x)$在定义域上下凸且二阶可导,说明$p’’(x)\geq 0$.设$q(x)=f^2(x)$,则$q’(x)=2p(x)p’(x)$,$q’’(x)=2(p’(x))^2+2p(x)p’’(x)\geq 0$,因此$q(x)$在定义域上也是下凸函数.


证明:由于在$(0,1)$上$f’’(x)=2x^{-3}\geq 0$,因此$f(x)$在$(0,1)$上是下凸函数.由引理,$f^2(x)=(x+\frac{1}{x})^2$在$(0,1)$上也是下凸函数.因此
$$
\frac{(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}})^2=\frac{100}{9},
$$
因此题目中的不等式成立.