叶卢庆的博客

一个不等式

下面我们来证明一个不等式.这个不等式来自叶立军《初等数学研究》例2.5.5.1.

题目:已知$a,b,c,d\in \mathbf{R}^+$,则
$$
\sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}
$$


证明:
\begin{align*}
\sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}&=\sqrt[3]{\frac{ab(c+d)+cd(a+b)}{4}}
\\&\leq \sqrt[3]{\frac{\frac{a^2+b^2}{2}\cdot
\sqrt{2}\sqrt{c^2+d^2}+\frac{c^2+d^2}{2}\cdot
\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}{4}}
\\&=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})}{4
\sqrt{2}}}
\\&\leq \sqrt[3]{\frac{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\cdot
\sqrt{2}\sqrt{(a^2+b^2)+(c^2+d^2)}}{4 \sqrt{2}}}
\\&=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}.
\end{align*}