叶卢庆的博客

利用Vieta定理证明一个命题

下面这个题目来自叶立军《初等数学研究》例2.5.4.8.

题目:设$a+b+c>0$,$ab+bc+ca>0$,$abc>0$,求证$a>0,b>0,c>0$.


书上的证明是使用反证法逐渐讨论.下面我们使用Vieta定理将其证明.
证明:构造三次实多项式
$$
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=x^3+t_2x^2+t_1x+t_0.
$$
易得
$$
f’(x)=3x^2+2t_2x+t_1,
$$
由于$t_2<0,t\_1>0$,因此在$x<0$时$f’(x)>0$.因此$f(x)$在$(-\infty,0]$上严格单调递增.且由于$f(0)=t_0<0$,因此在$x<0$时$f(x)<0$.因此$f(x)$的三个根$a,b,c$全大于0.


我们提出以下猜想.等我心情好时再进行探究.

猜想: 设对于$\{1,2\cdots,n\}$的任意一个非空子集$S$,以及任意给定的$1\leq i\leq n$,$$\sum_{|S|=i}\prod_{j\in S}a_j>0,$$则$\forall 1\leq j\leq n$,$a_j>0$.