叶卢庆的博客

利用Vieta定理证明一个命题(2)

下面我们来做叶立军《初等数学研究》例2.3.4.不同于书上的解法(利用因式分解),我们使用Vieta定理来解决.

题目:设三个数$a,b,c$满足
\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c},
\end{equation}
证明
$$
\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{(a+b+c)^{2n+1}}.
$$


证明:由等式\eqref{eq:1}可得
\begin{equation}\label{eq:2}
(ab+bc+ca)(a+b+c)=abc.
\end{equation}
构造三次函数
$$
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=x^3+t_2x^2+t_1x+t_0.
$$
由等式\eqref{eq:2}可得$t_0=t_1t_2$.因此
\begin{align*}
f(x)&=x^3+t_2x^2+t_1x+t_1t_2
\\&=(x^2+t_1)(x+t_2)
\\&=(x-\sqrt{-t_1})(x+\sqrt{-t_1})(x+t_2).
\end{align*}
因此不妨设$a=-b$.因此
$$
\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{(a+b+c)^{2n+1}}.
$$