叶卢庆的博客

利用均值不等式证明一个不等式

下面我们来做一个不等式.这是叶立军《初等数学研究》例2.5.5.2.

题目:已知$a,b,c\in \mathbf{R}^+$,且满足
\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}+\frac{d^2}{1+d^2}=1,
\end{equation}
求证
$$
abcd\leq \frac{1}{9}.
$$


证明:将等式\eqref{eq:1}化为
\begin{equation}
\label{eq:2}
\frac{1}{\frac{1}{a^{2}}+1}+\frac{1}{\frac{1}{b^{2}}+1}+\frac{1}{\frac{1}{c^{2}}+1}+\frac{1}{\frac{1}{d^{2}}+1}=1.
\end{equation}
令$\frac{1}{a^2}=t_1$,$\frac{1}{b^2}=t_2$,$\frac{1}{c^2}=t_3$,$\frac{1}{d^2}=t_4$,则等式\eqref{eq:2}化为
\begin{equation}
\label{eq:3}
\frac{1}{1+t_1}+\frac{1}{1+t_2}+\frac{1}{1+t_3}+\frac{1}{1+t_4}=1.
\end{equation}
要证明的是,$t_1t_2t_3t_4\geq 81$.$\forall 1\leq i\leq 4$,令$\frac{1}{1+t_i}=k_{i}$,则等式\eqref{eq:3}可以化为
\begin{equation}
\label{eq:4}
k_1+k_2+k_3+k_4=1,
\end{equation}
欲证结论变为
\begin{equation}
\label{eq:5}
(\frac{1}{k_1}-1)(\frac{1}{k_2}-1)(\frac{1}{k_3}-1)(\frac{1}{k_4}-1)\geq 81.
\end{equation}
结合条件\eqref{eq:4},式\eqref{eq:5}进一步化为
\begin{equation}
\label{eq:6}
\frac{(k_2+k_3+k_4)(k_1+k_3+k_4)(k_1+k_2+k_4)(k_1+k_2+k_3)}{k_1k_2k_3k_4}\geq 81.
\end{equation}
为了证明式\eqref{eq:6},我们使用均值不等式,
\begin{equation}
\label{eq:7}
\frac{(k_2+k_3+k_4)(k_1+k_3+k_4)(k_1+k_2+k_4)(k_1+k_2+k_3)}{k_1k_2k_3k_4}\geq
\frac{(3 \sqrt[3]{k_2k_3k_4})(3 \sqrt[3]{k_1k_3k_4})(3 \sqrt[3]{k_1k_2k_4})(3 \sqrt[3]{k_1k_2k_3})}{k_1k_2k_3k_4}=81.
\end{equation}
这样就证明了式\eqref{eq:6},于是原不等式成立.