叶卢庆的博客

一个几何不等式

下面我们来做一个几何不等式.这是叶立军《初等数学研究》例2.5.5.5.

图1
题目:设$p$是$\triangle ABC$内一点.$x,y,z$是$p$到三边$a,b,c$的距离,$R$是三角形$\triangle ABC$外接圆的半径.证明
$$
\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{1}{\sqrt{2R}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
$$


证明:考虑面积即可.
$$
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(ax+by+cz)=\frac{1}{2}ab\sin
C=\frac{abc}{4R}.
$$
于是
$$
ax+by+cz=\frac{abc}{2R}.
$$
这是唯一的约束了.令$\sqrt{ax}=t_1,\sqrt{by}=t_2,\sqrt{cz}=t_3$,则
$$
t_1^2+t_2^2+t_3^2=\frac{abc}{2R},
$$
而我们要求的是$\frac{1}{\sqrt{a}}t_1+\frac{1}{\sqrt{b}}t_2+\frac{1}{\sqrt{c}}t_3$的最大值.这很简单,由Cauchy不等式即可得
$$
\frac{1}{\sqrt{a}}t_1+\frac{1}{\sqrt{b}}t_2+\frac{1}{\sqrt{c}}t_3\leq
\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\sqrt{t_1^2+t_2^2+t_3^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2R}}\sqrt{ab+bc+ca}\leq \frac{1}{\sqrt{2R}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
$$