叶卢庆的博客

利用旋转变换另解一道平面几何题(2)

下面这道平面几何题来自叶立军《初等数学研究》例7.3.4.16.在此我们给出不同于该书解法的另外一种解法.这种解法基于旋转变换.

图1

题目:如图1.在线段$AB$上取一点$M$,在一侧分别以$AM,MB$为边作正方形$ADCM$,$BEHM$,设两正方形的外接圆交于另一点$N$,试证$B$、$N$、$C$共线,$A$、$H$、$N$共线,$D$、$N$、$E$共线.


图2

证明:如图2.以点$O_1$为旋转中心,逆时针旋转一个直角,再以$O_2$为旋转中心,逆时针旋转一个直角.点$A$依次经过这两个操作后会得到点$B$.这两个操作合并,相当于点$A$以点$O_3$为旋转中心,逆时针旋转了一个平角,其中点$O_3$是三角形$ANB$外接圆的圆心.而且由于$A,B$共线,因此点$O_3$必定在线段$AB$上且位于$AB$中点.因此$AB$实际上是圆$O_{3}$的直径,因此$\angle ANB$为直角.

且$\angle O_1MO_2$也是直角.且易得$\angle MO_1O_2=\frac{1}{2}\angle MO_1N$,$\angle MAN=\frac{1}{2}\angle MO_1N$,因此$\angle MO_1O_2=\angle MO_1N$.综上可见$\triangle ANB$与$\triangle O_1MO_2$相似.因此
$$
\frac{|NB|}{|NA|}=\frac{|MO_2|}{|MO_1|}=\frac{|HM|}{|AM|}.
$$
因此可见$\angle NAM=\angle HAM$,因此点$N,H,A$共线.

易得$\angle MCN=\frac{1}{2}\angle MO_{1}N=\angle HAM$,且易得$\triangle AHM$与$\triangle CBM$全等,于是$\angle HAM=\angle BCM$.因此可见$\angle MCN=\angle BCM$.因此点$C,N,B$也共线.

易得$\angle BNE=\frac{\pi}{4}$,$\angle DNC=\frac{\pi}{4}$,且由于$C,N,B$共线,因此可得$D,N,E$也共线.证明完毕.