叶卢庆的博客

利用旋转变换另解一道平面几何题

下面这道平面几何题来自叶立军《初等数学研究》例8.2.1.书上的解法使用了平移变换结合四点共圆来解决.在此我们给出不同于该书解法的另外一种解法.这种解法基于旋转变换.

题目:如图1.已知,平行四边形$ABCD$中,$P$是平行四边形内一点.连接$PA,PB,PC,PD$.若$\angle PAB=\angle PCB$,求证$\angle PBA=\angle PDA$.

图1


证明:如图2所示.
图2
分别做三角形$PAB,PBC,PCD,PDA$的外接圆$O_1,O_2,O_3,O_4$.设圆$O_i$的半径为$r_i$,则易得
$$
r_4=\frac{|PD|}{\sin \angle PAD},r_3=\frac{|PD|}{\sin\angle PCD}.
$$
由于$\angle PAB=\angle PCB$,因此结合平行四边形的性质可得$\angle PAD=\angle PCD$,因此$r_4=r_3$.同理可得$r_1=r_2$.

下面我们证明$r_1=r_2=r_3=r_4$.否则,不妨假设$r_1=r_2>r_3=r_4$.

1.先以点$O_{4}$为旋转中心,逆时针旋转$\angle AO_4P$大小的角.
2.再以点$O_3$为旋转中心,逆时针旋转$\angle PO_3C$大小的角.

经过变换1和变换2的接连作用,点$A$变为点$C$.然后,

3.以点$O_2$为旋转中心,顺时针旋转$\angle CO_2P$大小的角.
4.以点$O_1$为旋转中心,顺时针旋转$\angle PO_1A$大小的角.

经过变换3和变换4的接连作用,点$C$变回点$A$.因此经过变换1,2,3,4的顺次作用后,点$A$变回自己.于是,
$$
\angle AO_4P+\angle PO_3C=\angle CO_2P+\angle PO_1A.
$$
然而由于$r_1=r_2>r_3=r_4$,因此有$\angle AO_4P>\angle PO_1A$且$\angle PO_3C>\angle CO_2P$.于是有
$$
\angle AO_4P+\angle PO_3C>\angle CO_2P+\angle PO_1A.
$$
这样就导致矛盾.同理可以$r_1=r_2<r_3=r_{4}$也可以导出矛盾.因此只能有$r_1=r_2=r_3=r_4$.这样,就可得四边形$AO_1PO_4$是菱形,于是$\angle AO_1P=\angle AO_4P$,于是
$$
\angle ADP=\frac{1}{2}\angle AO_4P=\frac{1}{2}\angle AO_1P=\angle ABP.
$$
命题得证.